¿Cómo encontrar una combinación lineal óptima de varias inversiones?

Question

Digamos que un inversor con 1 millón de dólares quiere poner su dinero en varias inversiones.

Digamos que los resultados de esas inversiones son $x_1, x_2, x_3, x_4, ... x_n$

El inversor tiene que poner w1 en x1, w2 en x2, y así sucesivamente.

Las inversiones tienen varios rendimientos esperados m1, m2, m3, m4, ... mn. Tiene una desviación estándar s1, s2, s3, s4, ... sn.

Tiene la tabla de correlación p11, p12, ... pij, pnn para i y j que van de 1 a n

Quiero maximizar 2 variables. A saber, el rendimiento esperado y la inversa aditiva de la desviación estándar de las inversiones mixtas.

Básicamente quiero una función que mapee la desviación estándar a los rendimientos esperados y un vector (w1, w2, w3, ... wn) que corresponda al peso de dónde debo poner mi dinero.

¿Cómo lo hago?

Y prácticamente, ¿alguien lo hace?

Answer 1

Estás hablando de teoría moderna de la cartera . El artículo de la wiki entra en el matemáticas . Esto es lo esencial:

La teoría moderna de la cartera (MPT) es una teoría de las finanzas que intenta maximizar la rentabilidad esperada de la cartera para una cantidad determinada de riesgo de la cartera, o, de forma equivalente, minimizar el riesgo para un nivel determinado de rentabilidad esperada, eligiendo cuidadosamente las proporciones de varios activos.

En el nivel más básico, o bien a) eliges un nivel de riesgo (desviación estándar de toda tu cartera) con el que estás de acuerdo y encuentras la máxima rentabilidad que puedes conseguir sin superar tu nivel de riesgo, o bien b) eliges un nivel de rentabilidad esperada que quieres y minimizar riesgo (de nuevo, la desviación estándar de su cartera). No se maximizan ambos momentos a la vez.

Las técnicas para resolverlas en todos los casos, salvo los más triviales (las carteras de dos o tres activos son casos triviales) son básicamente programación cuadrática porque, para ser realistas, es posible que tenga una cartera que a) no permite la venta en corto de todos los instrumentos, y/o b) tiene algunos valores que no pueden mantenerse en cantidades fraccionarias (como los ETF o los bonos). Entonces no hay una solución de forma cerrada y se necesitan técnicas de cálculo como la programación cuadrática entera mixta.

Muchas empresas y personas utilizan estas técnicas, incluso en su forma más básica.

También sus términos son un poco extraños:

Tiene la tabla de correlación p11, p12, ... pij, pnn para i y j que van de 1 a n

Suele llamarse matriz de covarianza.

Quiero maximizar 2 variables. A saber, el rendimiento esperado y la inversa aditiva de la desviación estándar de las inversiones mixtas.

Como dije arriba no se maximizan dos momentos (rentabilidad e inverso del riesgo). Me doy cuenta de que estás tratando de minimizar el riesgo maximizando el "riesgo negativo", por así decirlo, pero como el riesgo y el rendimiento son inherentemente un compromiso, no puedes lograr lo mejor de ambos mundos.

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Tal vez deba señalar que, aunque lo anterior suena bien y, en teoría, es sólido, como señala uno de los comentarios, es más difícil de aplicar en la práctica. Por ejemplo, es fácil calcular una matriz de covarianza entre los rendimientos de dos o más activos, pero en el caso más sencillo de la teoría moderna de la cartera, se supone que esas covarianzas no cambian a lo largo del horizonte temporal.

También hay que dar una medida realista de su El nivel de riesgo puede ser complicado. Por ejemplo, usted puede estar bien con una desviación estándar del 20% en la dirección positiva, pero sólo estar bien con una desviación estándar del 5% en la dirección negativa. Básicamente, en su cabeza, la distribución de rendimientos que desea probablemente tenga una desviación negativa asimetría :

porque en general se quieren más rendimientos positivos que negativos. Como dije, esto puede complicarse porque entonces se empiezan a minimizar otras formas de riesgo como valor en riesgo Por ejemplo, la teoría moderna de la cartera ya no ofrece necesariamente soluciones de forma cerrada.

Cualquier fondo de gestión activa que aplique esto en la práctica (ya que, obviamente, un fondo completamente pasivo se limitará a replicar el índice y no tratará de minimizar el riesgo ni nada por el estilo) probablemente utilizará algo parecido a lo anterior, o al menos algo más complicado que la optimización básica de la cartera de grado de la que hablé anteriormente.

A este ritmo, nos vamos a ir rápidamente más allá de lo que sé, así que tal vez debería parar ahí.