La prueba de que la utilidad es nonincreasing en los precios

Question

La siguiente es una prueba de que la función de utilidad indirecta es nonincreasing en los precios, pero no puedo entender el último paso. ¿Cómo llegan a la conclusión de que $v(p_1, y) \ge$ desde el anterior razonamiento?

Considere la posibilidad de $p_0\ge p_1$ y deje $x_0$ resolver la maximización de la utilidad de problema al $p = p_0$. Debido a $x_0\ge 0$, $(p_0 − p_1) · x_0 ≥ 0$. Por lo tanto, $p_1·x_0 ≤ p_0·x_0 ≤ y$, por lo que $x_0$ es factible para la maximización de la utilidad de problema al $p = p_1$. Llegamos a la conclusión de que $v(p_1, y) ≥ u(x_0) = v(p_0, y)$.

Answer 1

Que sigue a $v(p_1,y)$ , siendo la máxima utilidad se puede obtener a partir de un paquete asequible dado los precios de los $p_1$ e ingresos $y$. Deje $x_1$ ser de una utilidad maximizar el paquete. A continuación, $p_1\cdot x_1\le y$ e $u(x_1)\ge u(x)$ para todos los $x$ tal que $p_1\cdot x\le y$. En particular, $u(x_1)\ge u(x_0)$ desde $p_1\cdot x_0\le y$ (esto es lo que el argumento tiene muestra.) Por lo tanto, $$v(p_1,y)=u(x_1)\geq u(x_0)=v(p_0,y).$$ Intuitivamente, si los precios son más bajos, se pueden comprar a partir de un conjunto más amplio de opciones, y con más opciones, siempre se puede conseguir, al menos, como de gran utilidad.