Existencia de utilidad máxima con dos malos

Question

Estoy trabajando con un conjunto de consumo $X = R_+^2$ y preferencias completas, transitivas, continuas y fuertemente decrecientes. La economía se caracteriza por la presencia de dos males económicos. Necesito demostrar que "siempre existe una solución al problema de maximización de la utilidad del consumidor".

Lo que quiero decir es que si yo tuviera una función de utilidad continua sobre un conjunto presupuestario compacto, utilizando el teorema de Weierstrass tengo la certeza de que la función alcanza sus extremos. El problema aquí, si estoy en lo cierto, es que el conjunto presupuestario ya no está acotado y, por tanto, tampoco es compacto.

¿Hay otros resultados que pueda utilizar para demostrar la afirmación?

Answer 1

Asumo, por un fuertemente decreciente preferencia $\succsim$ quieres decir: para todos $x,y\in\mathbb R^2_+$ , \begin{equation} x\succ y \text{ only if $x\le y$ and $x\ne y$}. \end{equation} Entonces está claro que $(0,0)$ es el paquete preferido en $\mathbb R^2_+$ es decir $(0,0)\succ x$ para todos $x\in\mathbb R^2$ tal que $x\ne (0,0)$ .

Por lo tanto, cualquier función de utilidad que represente $\succsim$ también debe cumplir $u(0,0)\ge u(x)$ para todos $x\in\mathbb R^2_+$ . Por lo tanto, \begin{equation} (0,0)=\arg\max_{x} u(x) \end{equation}