Pregunta sobre la variación cuadrática

Question

Aquí tengo esta pregunta

(i) enunciar la fórmula de Ito

(ii) por lo tanto o de otra manera demostrar que

$\int^t_0B_s dB_s = \dfrac{1}{2}B^2_t -\dfrac{1}{2} t$

(iii) definir la variación cuadrática $Q(t)$ del movimiento browniano sobre [0,t], dado que $Q(t) = t$ Utiliza este resultado para demostrar (ii)

Puedo hacer todo hasta la última parte de (iii), ¿cómo puede la variación cuadrática decirte esta relación?

descargo de responsabilidad: esto no es una tarea. Estoy tratando de ayudar a un amigo que se está preparando para un examen y esta era una pregunta de un documento pasado.

Answer 1

"Como" Ito: $$d (B^2) = B dB + B dB + dB dB$$

Es decir $$B dB = \frac{1}{2} d (B^2) - \frac{1}{2} dB dB$$

Integrar. El último término es 1/2 de la variación cuadrática.

Entiendo las preguntas de la siguiente manera: En iii) hay que definir qué $dB dB$ significa y hay que "probar" la primera línea de mi respuesta. En ii) se puede utilizar Ito para "saber" que $dB dB = dt$ .

Answer 2

He recogido esto de Shreve.

Comience con la definición de la variación cuadrática muestreada: ( 1 ) $\frac{1}{2}Q_\pi = \frac{1}{2}\sum\nolimits_{j=0}^{n-1} (W_{j+1}) - W_j)) ^2$ donde $\pi$ = {0,1,2...,n} es una partición de $[0,T]$ (Nota: tomamos $\frac{1}{2}$ de ambas partes por razones que quedarán claras en la siguiente línea). Ahora sabemos (1) es igual a $\frac{T}{2}$ pero también sabemos por simple álgebra que
(1) \= $\frac{1}{2}W_n^2 + \sum\nolimits_{j=0}^{n-1} W_j(W_j - W_{j+1})$ .

Lo único que queda para demostrar el resultado es hacerlo riguroso en el sentido de que estamos aproximando un movimiento browniano con una versión discretizada que converge en el límite como $n \to \infty$ ; también estamos aproximando la integral de ito con sumas, que también convergen en el límite. Te dejaré esto para que lo aclares un poco más. De nuevo, consulta los apuntes de Shreve si no tienes sus excelentes textos (busca en google : notas de steve shreve )

Answer 3

Creo que la pregunta pide que se demuestre (ii) utilizando sólo (iii), lo que impide utilizar directamente el lema de Ito.

De hecho, para $T>0$ y $\Pi=\{t_{0}=0,t_{1},\ldots,t_{n}=T\}$ obtenemos del teorema de Taylor aplicado a $f(w)=\frac{1}{2}w^{2}$ , $$\frac{1}{2}(W(T))^{2}=\sum_{i=0}^{n-1}W(t_{i}))(W(t_{i+1})-W(t_{i}))+\frac{1}{2}\sum_{i=0}^{n-1}(W(t_{i+1})-W(t_{i}))^{2}.$$ Los términos de orden superior desaparecen porque $f^{(k)}\equiv0$ para $k\geq3$ .

Según (iii), el segundo término es $\frac{1}{2}T$ y el primer término es sólo una suma de Ito que converge a la integral de Ito $\int_{0}^{T}W(s)\;dW(s)$ como $||\Pi||=\max_{i}|t_{i+1}-t_{i}|\to0$ .

Por lo tanto (como el LHS no se ve afectado por la toma de límites),

$\frac{1}{2}(W(T))^{2}=\int_{0}^{T}W(s)\;dW(s)+\frac{1}{2}T.$

Reordenando los términos obtenemos $$\int_{0}^{T}W(s)\;dW(s)=\frac{1}{2}(W(T))^{2}-\frac{1}{2}T$$ que es lo que afirma (i), pero obtenido a partir de (más o menos) primeros principios (es decir, (iii)).