Modelo de generaciones superpuestas: Solución del Planificador Social

Question

Supongamos que tenemos un modelo de OVG donde hay 2 generaciones superpuestas, jóvenes y olds Los agentes tienen dos periodos de vida. La función de utilidad es logarítmica y la función de producción es Cobb-Douglas.

Tengo que demostrar que la solución para el planificador social no coincide con el equilibrio del mercado. El planificador social resuelve: $$\max \ln(c_t^y)+\beta \ln(c_{t}^o)$$ $$s.t.$$ $$c_t^y+\frac{c_t^o}{1+n}+k_{t+1}(1+n)-k_t=f(k_t)$$ Cuando las unidades se expresan en términos per cápita y $n$ representa la tasa de crecimiento de la población. El FOC para el planificador social es $$\frac{c_{t}^o}{c_t^y}=\beta(1+n)$$ Sabemos que en estado estacionario el nivel de consumo es realmente constante, es decir $c_t^o=c^o$ y $c^y_t=c^y$ . Lo que no consigo es si debo sustituir esto en la restricción para obtener los valores de S.S. o si tengo que tomar el FOC con respecto al $k$ . Estoy un poco perdido, pues ya he resuelto el problema para la economía de mercado pero me cuesta saber cómo proceder. Cualquier pista será muy apreciada.

Answer 1

Empieza escribiendo el lagrangiano (como parece que ya has hecho):

$$L=\sum_{t=0}^{\infty} \{\beta^t(\ln C_t^y + \ln C_t^o) + \lambda_t (C_t^y +\frac{C_t^o}{1+n} +k_{t+1}(n+1)-k_t-f(k_t))\}.$$

Las condiciones de primer orden vienen dadas por $$\frac{\partial L}{\partial C_t^y} = \frac{\beta^t}{C_t^y} +\lambda_t = 0$$ $$\frac{\partial L}{\partial C_t^o} = \frac{\beta^t}{C_t^o} +\frac{\lambda_t}{1+n} = 0$$ $$\frac{\partial L}{\partial k_{t+1}} = \lambda_{t-1}(1+n) - \lambda_t(1 + f'(k_t)) = 0$$ $$\frac{\partial L}{\partial \lambda_{t}} = C_t^y +\frac{C_t^o}{1+n} +k_{t+1}(n+1)-k_t-f(k_t)=0.$$

En primer lugar, observe que las dos primeras ecuaciones nos dan $$\frac{C_t^y}{C_t^o} = 1+n.$$ Obsérvese también que la primera ecuación implica $\lambda_t = -\frac{\beta^t}{C_t^y}$ . Sustituyendo esto en nuestra tercera ecuación se obtiene $$\frac{\beta^{t+1}}{C_{t+1}^y}(1+n) = \frac{\beta^{t}}{C_{t}^y}(1+n)(1 + f'(k_t)$$ o de forma equivalente $$\frac{\beta C_t^n}{C_{t+1}^y} = (1 + f'(k_t)).$$

Finalmente, podemos escribir nuestro sistema de cuatro ecuaciones con tres ecuaciones, habiendo eliminado $\lambda$ del sistema: $$\frac{C_t^y}{C_t^o} = 1+n$$ $$\frac{\beta C_t^y}{C_{t+1}^y} = (1 + f'(k_t)).$$ $$C_t^y +\frac{C_t^o}{1+n} +k_{t+1}(n+1)-k_t-f(k_t)=0.$$

Si se eliminan los subíndices de tiempo, es decir, si se aplica la condición de estado estacionario, se obtiene $$\frac{C^y}{C^o} = 1+n$$ $$\beta = (1 + f'(k)).$$ $$C^y +\frac{C^o}{1+n} +nk-f(k)=0.$$

Por lo tanto, nos queda un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas $C^y$ , $C^o$ y $k$ . Resolver el sistema para llegar a una solución de estado estacionario.