Descargo de responsabilidad: yo no sé que me confundan con básicos de microeconomía prodoucer teoría (nota: He estado viendo algunos Hak Choi Videos en youtube),pero este es mi proceso de pensamiento.
Sabemos que el estándar del problema de maximización de beneficios puede ser descrito como: $$\max\pi=py(x)-wx$$
deje $y(x)=x^\alpha$
de ello se desprende que el óptimo $x^*$ a partir de dicha fórmula es:
$$\frac{\partial\pi}{\partial x}=p\alpha x^{\alpha-1}-w=0$$ $$x^*=\left(\frac{w}{p\alpha}\right)^{\frac{1}{\alpha-1}}$$
de ello se desprende que el óptimo $y^*$
$$y^*=\left(\frac{w}{p\alpha}\right)^{\frac{\alpha}{\alpha-1}}$$
sin embargo, no es el problema de maximización de beneficios también es sólo un problema de maximización de ingresos sujetos a una restricción? $$\max py(x) $$ $$s.t.\bar{C}(x)=wx $$
vamos $y(x)=x^\alpha$
De ello se sigue que nuestro Lagrange para este problema es:
$$L=py(x)+\lambda(\bar{C(x)}-wx)$$
tomando la derivada de nuestra Lagrangiano Con respecto a $x$ encontramos $$\frac{\partial L}{\partial x}=p\alpha x^{\alpha-1}-\lambda w=0$$
$$x^*=\left(\frac{\lambda w}{p\alpha}\right)^{\frac{1}{\alpha-1}}$$
de la siguiente manera: $$y^*=\left(\frac{\lambda w}{p\alpha}\right)^{\frac{\alpha}{\alpha-1}}$$
Me parece que hay una gran similitud entre estos dos problemas y sus soluciones son también muy similares. por este motivo os pido, es esta una forma adecuada de resolver para la entrada y salida de un maximizar las ganancias de la firma? si es así lo que sucede a $\lambda$ en la función de beneficios?
