Procesos de Wiener correlacionados de diferentes factores

Question

Soy relativamente nuevo en este campo, así que tengo un par de puntos que necesito aclarar.

Me gustaría saber cómo puedo estimar la matriz de correlación necesaria para implementar una descomposición Cholesky para un modelo que tiene dos fuentes de riesgo diferentes.

Tomemos por ejemplo un modelo Heston donde tenemos dos movimientos brownianos, $W_{s}$ y $W_{v}$ .

En el caso de una cartera compuesta por dos acciones, para poder simular trayectorias correlacionadas:

1. ¿Cómo se estima la matriz de correlación del proceso de varianza para las dos poblaciones? ¿Media móvil std u otros métodos?

2. Porque en el modelo de Heston $W_{s}$ y $W_{v}$ están correlacionados, de modo que tenemos $ \rho_ {1}=corr(W_{1s},W_{1v})$ para el primer activo y $ \rho_ {2}=corr(W_{2s},W_{2v})$ para el segundo activo, ¿tengo que conseguir dos matrices diferentes de dimensión $2 \times2 $ (uno para cada stock) o una matriz de dimensión $4 \times4 $ ?

¡Gracias de antemano!

Answer 1

Es necesario obtener un $4 \times 4$ matriz de correlación. Como efectivamente se observa, se tienen cuatro procesos aleatorios que conducen el sistema, con $i \in 1,2$

$$ \frac{dS_i}{S_i} = \mu_i dt + \sqrt{v_i} dW_{Si} \\ dv_i = \kappa(\bar{v}_{i}-v_i) dt + \xi \sqrt{v_i} dW_{vi} $$

Cada uno de los $W_{ji},j\in\{S,v\},i\in 1,2$ es un movimiento browniano correlacionado con los demás, con coeficiente $\rho_{i_1,j_1}^{i_2,j_2}$ .

Porque $v$ no se observa, no se puede trabajar hacia atrás a partir de los datos históricos del mercado a los valores de $W_{ji}$ Por lo tanto, no se pueden obtener correlaciones de la manera "habitual".

Puede estimar los parámetros de cada modelo individual (incluyendo el $\rho_{i,j_1}^{i,j_2}$ ), ya sea calibrando con datos históricos de series temporales o con los mercados de opciones (dependiendo de su aplicación). Esto le deja con un conjunto de correlaciones cruzadas $\rho_{i_1,j_1}^{i_2,j_2},i_1\neq i_2$ para estimar, y probablemente le falten opciones de cesta para calibrarlas.

Puede calibrarlos históricamente, quizás utilizando Muestreo de Gibbs debido a la complejidad de la distribución terminal conjunta. También se puede optar por estimaciones basadas en relaciones simples. Es decir, establecer

$$ \rho_{1,S}^{2,S} = \text{Corr}\left( \text{Ret}(\{S_1\}), \text{Ret}(\{S_2\}) \right)\\ \rho_{1,v}^{2,v} = \text{Corr}\left( \left\{\sigma_1^{\text{implied}}\right\}, \left\{\sigma_2^{\text{implied}}\right\} \right) \\ \rho_{1,S}^{2,v} = \rho_{1,v}^{2,S} = 0 $$

Es poco probable (en mi opinión) que cometa errores de estimación mayores que su errores del modelo .

Answer 2

Gracias por su respuesta. En realidad pensé en utilizar un método similar pero utilizando las rentabilidades históricas y calculando la volatilidad rodante, obteniendo una medida retrospectiva de la correlación.

Una pregunta más: Con $corr(\{\sigma_{1}^{implied}\},\{\sigma_{2}^{implied}])$ ¿se refiere a una correlación calculada a partir de una cadena de opciones (es decir, ATM para cada vencimiento disponible, por ejemplo) o a otro tipo de volatilidades implícitas?

Entonces, sumando todos estos términos, y dejando 0 en las correlaciones cruzadas, es posible que la matriz de correlación final no sea positiva definida. ¿Qué opinas?