Movimiento Browniano Geométrico - Probabilidades de precio

Question

Estoy modelando un precio de las acciones que sigue el Movimiento Browniano Geométrico y tengo lo siguiente:

$E(X)$ \= .16 (16%)

$ \sigma $ \= .24 (24%)

$X_0$ \= 95

$T$ \= 1 (12 meses)

Estoy tratando de encontrar la probabilidad de que el precio de estas acciones esté por debajo de 93 al final de este período de tiempo. Estoy calculando esto analíticamente, usando la distribución normal de logaritmos dada como la siguiente:

$P(X,t)$ \= $1 \over X $$ \cdot $$1 \over { \sigma \sqrt {2 \pi t}}$$ \cdot $$e^{-(ln(x)- ln(x_0)-( \mu - \sigma ^2 /2)t)^2} \over 2 \sigma ^2t$

Puedo conectar los valores como los siguientes:

$P(X,t)$ \= $1 \over X $$ \cdot $$1 \over {(.24) \sqrt {2 \pi (1)}}$$ \cdot $$e^{-(ln(x)- ln(95)-((.16)- (.24)^2 /2)(1))^2} \over 2(.24)^2(1)$

Pero aún así me queda la X. Mi pregunta es, ¿es éste el valor 93 que debería ser conectado? ¿Representaría la probabilidad de que el precio esté por debajo de 93 después de este período de tiempo? ¿Y si quisiéramos encontrar la probabilidad de que el precio se cerrara por encima de este 93 (sólo 1 - esta probabilidad)?

Answer 1

Sabiendo que el logaritmo de los precios en un GBM sigue la siguiente distribución normal:

$$\operatorname{ln}(S_t) \sim N\left(\operatorname{ln}S_0 + T*\left( \mu - \frac{\sigma^2}{2} \right), \sigma^2 T \right) $$

Puedes crear una distribución normal con estos valores y luego comprobar la FCD. Aquí está el código de python:

from scipy.stats import norm; 
mu=0.16; sigma=0.24;S_0=95;T=1
my_var=sigma**2*T
my_norm=norm(np.log(S_0) + (mu-sigma**2/2)*T,np.sqrt(my_var))
my_norm.cdf(np.log(93))

a partir de esta distribución normal se obtiene el valor de la FDA para log(93) ya que se quiere conocer la probabilidad de valores inferiores a 93, es 0.26260905311083976

y esta probabilidad depende del tiempo, si en lugar de 1 año fuera durante 6 meses, entonces $T$ sería 0,5.

Y sí, la probabilidad de que el precio esté por encima de 93 es el complementario de eso, es decir, 1-0,26.

Answer 2

Al igual que la densidad normal, esto dará la densidad de probabilidad de x=93. Así que para encontrar la probabilidad de $P\left[ S\le 93\right]$ , tendrás que calcular la probabilidad acumulada. Vea un poco de discusión aquí. https://math.stackexchange.com/questions/2445900/probability-from-log-normal-distribution

Prueba también la página gratuita de Matlab aquí: https://uk.mathworks.com/help/stats/logncdf.html para conocer las probabilidades log normales, y luego sólo tienes que buscar el equivalente en el software que estés utilizando. Excel también tiene una función.