@Gordon, así es como yo interpretaría este extracto.
Supongamos que la discusión comienza con $\bf{SALVA}$ explicando a $\bf{SAGE}$ que, en ausencia de oportunidades de arbitraje, siempre es posible identificar una medida de martingala equivalente (EMM) $\mathbb{Q}$ según el cual los precios de los instrumentos financieros pueden escribirse como expectativas, sin preocuparse por la aversión al riesgo de los inversores. $\bf{SALVA}$ continúa explicando el concepto de estrategias de autofinanciación, no arbitraje, etc., pero $\bf{SAGE}$ interrumpe... quiere algo más pragmático.
$\bf{SAGE}$ . Esto parece una hermosa teoría. Pero supongamos que el activo subyacente sigue un movimiento browniano geométrico en el mundo real $$ \frac{dS_t}{S_t} = \mu dt + \sigma dW_{t}^\mathbb{P}$$ ¿Cómo se traduce esto en su llamado mundo de riesgo neutro?
$\bf{SALVA}$ . Pues bien, para averiguarlo habría que recurrir al teorema de Girsanov. Dice así. Definir $$ \lambda = \frac{\mu - r}{\sigma} $$ como el ratio de Sharpe de su activo subyacente, que podría interpretarse como una prima de riesgo de rentabilidad. Su SDE puede entonces reescribirse como $$ \frac{dS_t}{S_t} = r dt + \sigma d(W_{t}^\mathbb{P} + \lambda t)$$ definiendo ahora la medida neutral de riesgo $\mathbb{Q}$ a través de su derivado Radon-Nikodym $$ \left. \frac{d\mathbb{P}}{d\mathbb{Q}} \right\vert_{\mathcal{F}_t} = \mathcal{E}[{\color{blue}{-\lambda W_t^{\mathbb{P}}}}] $$ El teorema de Gisanov establece que el proceso $$ W_t^{\mathbb{P}} - \langle W^{\mathbb{P}}, {\color{blue}{-\lambda W^{\mathbb{P}}}} \rangle_t = W_t^{\mathbb{P}} + \lambda t $$ es un $\mathbb{Q}$ -Movimiento browniano para que podamos escribir: $$ \frac{dS_t}{S_t} = r dt + \sigma dW_{t}^\mathbb{Q}$$
$\bf{SAGE}$ . Espera, ¿tu teorema de Girsanov no dice que los vols instantáneos y las correlaciones para las difusiones son los mismos bajo las dos medidas?
$\bf{SALVA}$ . [mirando a Sage con atención] Como siempre, pretendes ser un imbécil pero eres bastante inteligente. Sí, tendrías razón. Pero no es tan sencillo. Parametrizando el Radon-Nikodym...
... espera, déjame darte un ejemplo práctico. Considere un modelo de difusión donde se permite que la volatilidad sea estocástica. En el mundo real este modelo, por ejemplo, dice \begin{gather} \frac{dS_t}{S_t} = \mu_t dt + \sqrt{v_t} dW_t^\mathbb{P} \\ dv_t = \alpha dt + \beta dB_t^\mathbb{P} \tag{1} \\ d\langle W^\mathbb{P}, B^\mathbb{P} \rangle_t = \rho dt \end{gather} La varianza instantánea de su activo subyacente (en realidad la de sus rendimientos logarítmicos) es $v_t$ con $v_t$ dado por $(1)$ . Ahora veamos cómo cambia esto cuando pasamos a la medida de riesgo neutro. Cortaré los detalles pero bajo $\mathbb{Q}$ El precio de cualquier estrategia de autofinanciación, descontado a la tasa libre de riesgo, debería ser una martingala. Supondremos que el subyacente no paga dividendos, por lo que invertir en él es una estrategia de autofinanciación...
$\bf{SAGE}$ . Estás a punto de perderme en tus hermosas teorías una vez más.
$\bf{SALVA}$ . Espera, todo esto se reduce a decir que deberías ser capaz de escribir $$ \frac{dS_t}{S_t} = r dt + \text{<insert something here>}\ dW_t^{\mathbb{Q}} $$ como hicimos en el caso del GBM.
$\bf{SAGE}$ . Supongo que podría vivir con eso.
$\bf{SALVA}$ . Bien. Bueno, para hacer esto, una vez más apelamos a Girsanov. Inspirándonos en lo que hicimos en el caso del GBM, definamos la derivada de Radon-Nikodym como $$ \left. \frac{d\mathbb{P}}{d\mathbb{Q}} \right\vert_{\mathcal{F}_t} = \mathcal{E}[{\color{blue}{-\lambda W_t^{\mathbb{P}} - \lambda_\perp W_t^{\mathbb{P},\perp}}}] $$ donde $$\lambda := \frac{\mu_t-r}{\sqrt{v_t}}$$ y $\lambda_\perp$ es todo lo que quieras mientras $W_t^{\mathbb{P},\perp}$ es independiente de $W_t^\mathbb{P}$ .
Ahora tome la ecuación para $S_t$ . Dada la definición de $\lambda$ obtenemos algo similar al caso de GBM: $$ \frac{dS_t}{S_t} = r dt + \sqrt{v_t} d(W_t^{\mathbb{P}} + \lambda t) $$ Ahora usamos a Girsanov y vemos que: $$ W_t^{\mathbb{Q}} = W_t^{\mathbb{P}} - \langle W^{\mathbb{P}}, {\color{blue}{-\lambda W^{\mathbb{P}} - \lambda_\perp W^{\mathbb{P},\perp}}} \rangle_t $$ utilizando la bilinealidad de la variación cuadrática y la independencia de $W^\mathbb{P}_t$ y $W^\mathbb{P,\perp}_t$ tenemos $$ W_t^{\mathbb{Q}} = W_t^{\mathbb{P}} + \lambda t $$ y que independientemente del valor de $\lambda_\perp$ . Pero, si ahora miramos la ecuación de la varianza instantánea: $$ dv_t = \alpha dt + \beta dB_t^\mathbb{P} $$ Girsanov thoerem nos dice que $$ B_t^\mathbb{Q} = B_t^\mathbb{P} - \langle B^\mathbb{P}, {\color{blue}{-\lambda W^{\mathbb{P}} - \lambda_\perp W^{\mathbb{P},\perp}}} \rangle_t $$ y utilizando el hecho de que (descomposición de Cholesky) $$ B_t^\mathbb{P} = \rho W_t^{\mathbb{P}} + \sqrt{1-\rho^2} W_t^{\mathbb{P},\perp} $$ junto con la propiedad de bilinealidad de la variación cuadrática tenemos que: \begin{align} B_t^\mathbb{Q} &= B_t^\mathbb{P} - \left\langle \rho W^{\mathbb{P}} + \sqrt{1-\rho^2} W^{\mathbb{P},\perp}, -\lambda W^{\mathbb{P}} - \lambda_\perp W^{\mathbb{P},\perp} \right\rangle_t \\ &= B_t^\mathbb{P} + (\lambda \rho + \lambda_\perp \sqrt{1-\rho^2}) t \end{align} y al final del día: \begin{gather} \frac{dS_t}{S_t} = r dt + \sqrt{v_t} dW_t^\mathbb{Q} \\ dv_t = (\alpha - \beta(\lambda \rho + \lambda_\perp \sqrt{1-\rho^2}) )dt + \beta dB_t^\mathbb{Q} \tag{2} \\ d\langle W^\mathbb{Q}, B^\mathbb{Q} \rangle_t = \rho dt \end{gather}
$\bf{SAGE}$ . Creo que lo entiendo. Cuando miro la dinámica de la varianza instantánea bajo la medida del mundo real frente a la de su medida neutral de riesgo (es decir, cuando comparo $(1)$ a $(2)$ ), el proceso de volatilidad instantánea ya no es el mismo, al contrario que en el caso de GBM. Y lo que empezabas a decir con "parametrizar el Radon-Nikodym..." aquí se traduce por el hecho de que la dinámica bajo $\mathbb{Q}$ depende realmente del parámetro $\lambda_\perp$ que hemos definido como una constante arbitraria: la dinámica bajo $\mathbb{Q}$ está algo definido "hasta un parámetro arbitrario".
$\bf{SALVA}$ . [mirando de nuevo a SAGE con atención]. Definitivamente eres cualquier cosa menos un imbécil. En efecto... y habrías llegado exactamente a la misma conclusión si hubieras utilizado un argumento de replicación dinámica en lugar del enfoque de martingala + Girsanov. El razonamiento financiero es que, al no existir una forma única de cubrir la estocasticidad de la volatilidad (recuerda que la estocasticidad del precio del subyacente, puede abordarse tomando posiciones en el propio subyacente, ya que cotiza), te enfrentas a una indeterminación: la estrategia de cobertura ideal depende de ti... el mismo tipo de indeterminación que con qué valor de $\lambda_\perp$ para elegir al parametrizar la derivada de Radon-Nikodym. Decimos que el modelo de mercado es incompleto: hay menos valores comercializados que fuentes de riesgo independientes (aquí las representadas por los movimientos brownianos independientes $W^{\mathbb{P}}$ y $W^{\mathbb{P},\perp}$ . Ahora la pregunta difícil es cómo elegir una medida concreta $\mathbb{Q}$ de este conjunto de medidas admisibles?
$\bf{SAGE}$ . Vamos a tomar un café. Estoy cansado.
