El problema de encontrar la correcta SDE para el Proceso Estocástico

Question

Realmente estoy luchando para llegar a la correcta SDE para el proceso estocástico:

$Y(t) = a[Z(t)]^2$

donde $Z(t)$ es un Movimiento Browniano. Según mi Profe, el SDE es:

$dY(t) = adt + 2aZ(t)dZt $

¿Alguien puede explicar cómo llegó a esa solución? Gracias de antemano, cualquier ayuda apreciada

Answer 1

Si se aplica Ito de $Y_t=aZ_t^2$ lo simple para llegar a $dY_t$:

$$ f(t,z):=az^2 \\ dY_t = f_t(t,Z_t)dt+f_z(t,Z_t)dZ_t+\frac{1}{2}f_{zz}(t,Z_t)*[dZ_t]^2 \\ dY_t = 0*dt+ 2aZ_t dZ_t+\frac{1}{2}2a[dZ_t]^2 \\ dY_t = 2aZ_t dZ_t+adt \\ $$ Cual es el resultado deseado. Recordemos que $dZ_t^2=dt$.