Cap opción en Libor

Question

Denotamos discount factor $D(t),$ zero coupon bond $B(t,T),$ $E_t[X] = E[X|\mathcal{F}(t)]$ y $T$de avance de medida $E_t^{T}[\ ].$

En primer lugar, permítanme corregir el Libor y Forward Libor para evitar la ambigüedad

Libor$L(t,T):$ $$B(t, T)\cdot \Big(1 + (T-t) L(t, T)\Big) = 1.$$ Forward Libor$F(t,T-\delta,T):$ $$\Big(1 + (T-t)F(t,T-\delta,T)\Big)B(t,T) = B(t,T-\delta)$$

Ahora vemos a la cap $$C(t;T,L^*) = \dfrac{1}{D(t)}E_t\left[D(T)\delta\Big(F(t,T-\delta,T) - L^*\Big)^+\right]$$ Podemos cambiar en la medida $$C(t;T,L^*) = \delta B(t,T)E^T_t\left[\Big(F(t,T-\delta,T) - L^*\Big)^+\right]$$ y $F(t,T-\delta,T)$ es $T$de avance de martingala, la fórmula de arriba convertido en el estándar Black-Scholes.

Pero si elegimos $$C(t;T,L^*) = \dfrac{1}{D(t)}E_t\left[D(T)\delta\Big(L(T-\delta,T) - L^*\Big)^+\right]$$ entonces podemos transformar en $$C(t;T,L^*) = (1+\delta L^*)\cdot E^{T}_{t}\left[\left(\dfrac{1}{1+\delta L^*} - B(T-\delta,T)\right)^+\right]$$ que se convierta en un vínculo poner la opción expira en el momento $T - \delta$ con vencimiento en el tiempo $T.$

Pero $B(t,T)$ es imposible log-normal bajo $T$de avance medir, entonces no podemos usar Black-Scholes. Entonces, ¿cómo lidiar con este caso?

Answer 1

Tenga en cuenta que \begin{align*} &\ \dfrac{1}{D(t)}E_t\left(D(T)\delta\Big(L(T-\delta,T) - L^*\Big)^+\right)\\ =&\ \dfrac{1}{D(t)}E\left(D(T-\delta) E\left(\frac{D(T)}{D(T-\delta)}\delta\Big(L(T-\delta,T) - L^*\Big)^+\mid\mathcal{F}_{T-\delta}\right) \mid \mathcal{F}_t\right)\\ =&\ \dfrac{1}{D(t)}E\left(D(T-\delta) B(T-\delta, T)\delta\Big(L(T-\delta,T) - L^*\Big)^+\mid\mathcal{F}_t\right)\\ =&\ (1+\delta L^*)\dfrac{1}{D(t)}E\left(D(T-\delta)\left(\dfrac{1}{1+\delta L^*} - B(T-\delta,T) \right)^+\mid\mathcal{F}_t\right)\tag{1}\\ =&\ (1+\delta L^*)B(t, T)E^T_t\left(\frac{D(T-\delta)}{D(T)}\left(\dfrac{1}{1+\delta L^*} - B(T-\delta,T) \right)^+\right). \end{align*} La transformación de $$C(t;T,L^*) = \dfrac{1}{D(t)}E_t\left(D(T)\delta\Big(L(T-\delta,T) - L^*\Big)^+\right)$$ a $$C(t;T,L^*) = (1+\delta L^*)\cdot E^{T}_{t}\left(\left(\dfrac{1}{1+\delta L^*} - B(T-\delta,T)\right)^+\right)$$ no parece correcto.

Tomamos nota también de que el $(1)$ es de hecho el valor de una put opción de bonos con vencimiento $T-\delta$. Sobre la base de un modelo de tasa corta como la de Hull-White modelo, este valor puede ser calculado analíticamente.