Nash Equilibrio para el juego de ubicación de n-tiendas

Question

Entonces, si dos heladerías se colocaran en la ubicación $[0,1]$, para maximizar sus ganancias, ambas finalmente llegarían a la ubicación $[\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$. Esto también es el Equilibrio de Nash del problema y no requiere mucha matemática para entenderlo.

Ahora, mi problema fue cuando estábamos jugando este juego con 3 tiendas diferentes, ya que no hay una respuesta intuitiva para el problema. Cada posible respuesta que pensé ($[\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$, $[\frac{1}{4}, \frac{1}{2}, \frac{3}{4}]$, etc.) no es un Equilibrio de Nash.

Entonces, ¿hay una manera matemática que pueda usar para encontrar la ubicación del equilibrio de Nash para este juego, o demostrar que no existe?

Además, ¿se puede generalizar esto a juegos con $4,5 ...n$ tiendas?

Answer 1

Las siguientes dos afirmaciones son válidas en el caso general de la tienda $n$.

Afirmación 1. En equilibrio, una tienda más cercana a un borde (0 o 1) no puede estar sola.

Prueba. Tal tienda podría atraer clientes al moverse ligeramente hacia el interior.

Afirmación 2. En equilibrio, en la mayoría de los casos pueden haber como máximo dos tiendas en cualquier ubicación.

Prueba. Supongamos que hay un equilibrio donde hay tres o más tiendas en una ubicación. Denotemos el número de clientes que vienen a esta ubicación desde la izquierda y desde la derecha como $c_l$ y $c_r$ respectivamente. (En el caso de las 3 tiendas $c_l + c_r = 1$.) Todas las tiendas en la ubicación tienen una ganancia de $(c_l + c_r)/n$. Al moverse ligeramente hacia la izquierda, una tienda puede obtener una ganancia que está arbitrariamente cerca de $c_l$, y al moverse ligeramente hacia la derecha una tienda puede obtener una ganancia que está arbitrariamente cerca de $c_r$, por lo tanto puede obtener (casi) $\max(c_l;c_r)$. Es fácil mostrar que si $n >2$ entonces $$\frac{c_l + c_r}{n} < \max(c_l;c_r).$$

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Usando estas dos propiedades es muy fácil demostrar que en el caso de las 3 tiendas no hay un equilibrio de Nash puro, por lo que esto se deja como un ejercicio.

De hecho, tengo un Desmos para esto, si quieres puedes usarlo para validar las afirmaciones y razonar sobre la prueba.

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Nota: existe un equilibrio mixto, ver Shaked, A. (1982): Existence and Computation of Mixed Strategy Nash Equilibrium for 3-Firms Location Problem.

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Curiosamente, el caso $n = 3$ es el único caso sin un equilibrio puro, $n \in \left\{2,4,5\right\}$ todos tienen uno, y para otros valores de $n$ hay infinitos equilibrios. Para una caracterización formal se necesitan algunas propiedades adicionales, pero no matemáticas avanzadas. Para una discusión detallada ver Eaton, B.C., y R.G. Lipsey (1975): The Principle of Minimum Differentiation Reconsidered: Some New Developments in the Theory of Spatial Competition.