Volatilidad implícita de SABR y precios de las opciones

Question

Estoy tratando de entender el modelo SABR. En concreto, tengo dificultades para entender cómo calibrar los parámetros del modelo, es decir,

• la varianza inicial,
• volatilidad de la varianza,
• exponente del tipo de interés a plazo, y
• correlación entre los movimientos brownianos.

Un pequeño ejemplo sobre lo anterior sería útil. Gracias de antemano

Answer 1

El modelo SABR de Hagan se describe mediante las siguientes ecuaciones diferenciales estocásticas: $$\begin{align} & d{{f}_{t}}={{\alpha }_{t}}f_{t}^{\beta }d{{W}_{t}}^{1} \\ & d{{\alpha }_{t}}=v\,{{\alpha }_{t}}d{{W}_{t}}^{2} \\ & {{E}^{Q}}[d{{W}_{t}}^{1},d{{W}_{t}}^{2}]=\rho dt \\ \end{align}$$ En estas ecuaciones, $f_t$ es la tasa a plazo, $\alpha$ es la varianza inicial, $\beta$ es el exponente de la tasa a plazo y $v$ es la volatilidad de la varianza.

Es bien sabido que los precios de las opciones de compra europeas en el modelo SABR vienen dados por el modelo de Black. Para un tipo de interés a plazo actual $f$ , huelga $K$ y la volatilidad implícita $\sigma_{B}$ el precio de una opción de compra europea con vencimiento $T$ es $$C(f,K,{{\sigma }_{\beta }},T)={{e}^{-rT}}(f\,N({{d}_{1}})-K\,N({{d}_{2}}))$$ donde \begin{align} & {{d}_{1}}=\frac{\ln \left( \frac{f}{K} \right)+\frac{1}{2}\sigma _{B }^{2}T}{{{\sigma }_{B }}\sqrt{T}} \\ & {{d}_{2}}=\frac{\ln \left( \frac{f}{K} \right)-\frac{1}{2}\sigma _{B}^{2}T}{{{\sigma }_{B }}\sqrt{T}} \\ \end{align} y

Estimación de $\alpha$ , $\rho$ y v : Esto puede lograrse minimizando los errores entre el modelo y las volatilidades del mercado { $\sigma_{i}^{market}$ } (de derivados de tipos de interés, por ejemplo) con idéntico vencimiento T. De ahí que, por ejemplo, podamos utilizar SSE, que produce $$(\widehat{\alpha },\widehat{\rho },\widehat{v})=\underset{\alpha ,\rho ,v}{\mathop{\arg \min }}\,{{\sum\limits_{i}{\left( \sigma _{i}^{market}-{{\sigma }_{B }}({{f}_{i}},{{K}_{i}};\alpha ,\rho ,v) \right)}}^{2}}$$

Estimación de $\beta$ :

La volatilidad at-the-money $\sigma_{ATM}$ se obtiene fijando $f = K$ en la ecuación $\sigma (K,\beta)$ que produce $${{\sigma }_{ATM}}={{\sigma }_{\beta }}(f,f)=\frac{\alpha \left( 1+\left[ \frac{{{(1-\beta )}^{2}}}{24}\times \frac{{{\alpha }^{2}}}{{{f}^{2-2\beta }}}+\frac{1}{4}\frac{\rho \beta v\alpha }{{{f}^{1-\beta }}}+\frac{2-3{{\rho }^{2}}}{24}{{v}^{2}} \right]T \right)}{{{f}^{1-\beta }}}$$ La toma de registros produce $$\ln {{\sigma }_{ATM}}\approx \ln \alpha -(1-\beta )\ln f$$ Editar para Gordon

En la práctica, la elección de $\beta$ tiene poco efecto en la forma resultante de la curva de volatilidad producida por el modelo SABR, por lo que la elección de no es crucial. La elección de $\beta$ Sin embargo, puede afectar a los griegos. Barlett proporciona griegas más precisas y muestra que son menos sensibles a la elección de $\beta$ De hecho, el caso $\beta=0$ produce el modelo normal estocástico, $\beta=1$ produce el modelo estocástico log-normal, $\beta=\frac{1}{2}$ produce el modelo estocástico CIR.

Answer 2

Uno de mis amigos escribió recientemente sobre el modelo SABR y su calibración. Le recomiendo que lo lea para obtener sus respuestas http://janroman.dhis.org/stud/EXJOBB/SABR.pdf