Cómo calcular la demanda de Marshall para esta función de utilidad específica

Question

$$u(x) = x_1^\alpha \cdot (x_2+x_3)^{1-\alpha}, \text{ con } \alpha \in(0,1)$$

Intenté establecer el Lagrangiano y resulta que $\lambda$ no tiene solución a menos que $p_1 = p_2$.

$$L = x_1^\alpha \cdot (x_2+x_3)^{1-\alpha} -\lambda(x_1 p_1 + x_2 p_2 + x_3 p_3 -1)$$

$$\frac{\partial L}{\partial x_2} = (1-\alpha)x_1^\alpha(x_2+x_3)^{-\alpha} -\lambda p_2 = 0$$

$$\frac{\partial L}{\partial x_3} = (1-\alpha)x_1^\alpha(x_2+x_3)^{-\alpha} -\lambda p_3 = 0$$

Observé que esta función es similar a la función de utilidad C-D. Así que me pregunto si puedo combinar $x_{3}$ y $x_{2}$ como un solo bien y luego aplicar la función de utilidad C-S. Pero este método me parece poco confiable.

¿Alguien puede ayudar?

Answer 1

Significa que las superficies de nivel de $u$ no tocan la superficie $x_1p_1+x_2p_2+x_3p_3=1$ a menos que $p_2=p_3$. Pero, dado que $x_i\ge0$, se sigue que el dominio admisible de $x_i$ es compacto y el máximo aún se alcanza en algún lugar. Es decir, en algún punto de borde del dominio admisible $-$ para $x_2=0$ o $x_3=0.

Answer 2

$x_2$ y $x_3$ son perfectos sustitutos. De hecho, siempre puedo quitar una unidad de $x_2$ y dar una unidad extra de $x_3$ y la utilidad permanecerá exactamente igual. Esto implica que el consumidor solo comprará lo que sea más barato entre $x_2$ y $x_3$. En otras palabras, si $p_2\leq p_3$ entonces no hay pérdida de generalidad al establecer $x_3=0$. El problema entonces se convierte en

$$\max_{x_1,x_2}x_1^a x_2^{1-a}$$ sujeto a $$p_1 x_1+p_2 x_2=M$$

Esta es la función estándar de Cobb-Douglas que ya sabes cómo resolver.

En realidad, esta es una pregunta bastante interesante porque nos obliga a pensar en el mecanismo de lo que está haciendo el consumidor cuando maximiza la utilidad, en lugar de simplemente configurar el problema de optimización sin pensar.