la diferencia entre $\hat{e}^2_i$ y $\sigma^2_i$

Question

¿Cuál es la diferencia entre $\hat{e}^2_i$ y $\sigma^2_i$ ?

En la regresión, suponemos que $var(e_i)=E(e_i^2)=var(y_i)=\sigma_i^2$ .

¿Implica esto que $\sigma_i^2$ (la varianza de la muestra) es igual a $\hat{e}_i^2$ ?

Cuando calculamos los FGLS (mínimos cuadrados generalizados factibles), consideramos $\ln(\hat{e}_i^2)=\ln(\sigma_i^2)+v_i$ , donde $v_i$ es sólo el término de error. Parece que distinguimos $\sigma_i^2$ de $\hat{e}_i^2$ .

Pero, cuando calculamos el error estándar robusto, simplemente repalce $\sigma_i^2$ con $\hat{e}_i^2$ . Por lo tanto, estas dos se consideran iguales.

Estoy confundido con estos dos términos. ¿Puede alguien aclararlo?

Gracias de antemano.

Answer 1

Ciertamente, la verdadera varianza no es igual al residuo al cuadrado.

En el caso de los errores estándar robustos, se ha demostrado que si utilizamos $\hat{e}^2_i$ obtenemos un estimador consistente de la matriz de varianza-covarianza en su conjunto , aunque $\hat{e}^2_i$ no es igual a $\sigma^2_i$ y aunque cada uno de ellos $\hat{e}^2_i$ hace no convergen en probabilidad a $\sigma^2_i$ (converge al error cuadrático verdadero, que es una variable aleatoria).

La razón fundamental de este resultado es que

$$E(\hat{e}^2_i) \to_{n \to \infty} E(e^2_i) =\sigma^2_i$$

Así que la frase del OP

Cuando calculamos el error estándar robusto, simplemente repalce $\sigma^2_i$ con $\hat{e}^2_i$ . Por lo tanto, estas dos se consideran iguales.

es simplemente un error.