¿Cuál es la idea detrás de la "curva de indiferencia no de la cruz"?

Question

Si sólo débil pedidos y la continuidad se supone, "ICs" definitivamente que se cruzan.

Si asumimos Monotonía o convexidad además de la débil pedido, entonces podemos obtener "ninguna cruz de la IC".

Pero esos dos supuestos son argueably demasiado fuerte. En algunos escenarios del mundo real que son violados.

¿Hay alguna más débil de la hipótesis de la "IC no puede cruzar"?

Answer 1

Si sólo los débiles-el pedido y la continuidad se supone, ICs puede definitivamente se cruzan.

Esto no es cierto. En primer lugar, si usted está hablando de indiferencia las curvas, que ya había asumiendo local no la saciedad o la monotonía.

Vamos a hablar de la indiferencia de los conjuntos de lugar. El análogo de dos conjuntos, $I_1$ e $I_2$, "cruce" de cada uno de los otros puede ser formalizado como $I_1\ne I_2$ e $I_1\cap I_2\ne \varnothing$.

Tomar dos alternativas $x_1,x_2\in X$ y definir dos conjuntos de indiferencia de la siguiente manera: \begin{align} I_1:=\{x\in X:x\sim x_1\}\quad\text{and}\quad I_2:=\{x\in X:x\sim x_2\}. \end{align} WLOG, suponga que $x_1\succ x_2$, por lo que $I_1\ne I_2$. Si permitimos $I_1$ a "cruz" $I_2$, a continuación, $I_1\cap I_2$ no puede ser vacío. Deje $\bar x\in I_1\cap I_2$ ser un elemento en la intersección. Por la transitividad de la indiferencia relación $\sim$, tenemos $x_1\sim \bar x$ e $\bar x\sim x_2$, lo que implica la $x_1\sim x_2$. Pero esto es contradictorio a nuestra suposición de que $x_1\succ x_2$. La contradicción, por tanto, sugiere que la transitividad, una propiedad de los débiles de pedidos, es violado.