Cálculo sin arbitraje de la estructura de plazos plana a partir de la estructura de plazos normal para, por ejemplo, fijar el precio de las opciones europeas

Question

Dado que, por ejemplo, el modelo Black-Scholes requiere un tipo de interés constante (estructura de plazos plana) pero el mundo real suele tener una estructura de plazos normal, me preguntaba si es matemáticamente correcto

1. calcular numéricamente el tipo de interés r al que una inversión en esta pseudo-estructura de plazos tiene el mismo valor presente que una inversión en la estructura de plazos normal actual

2. valorar la opción mediante Black-Scholes con este pseudo-tipo de interés.

¿Hay algo que se me escapa o es incluso matemáticamente correcto?

Saludos

Answer 1

Black-Scholes no requiere realmente un tipo de interés constante. Para una opción europea con vencimiento $T$ el único tipo implicado es el tipo de cupón cero para el vencimiento $T$ . La teoría detrás de esto viene de trabajar bajo la $T$ -(la medida neutral de riesgo asociada con el bono de cupón cero como numerario). La única subtelidad es que la volatilidad del modelo representa la volatilidad del precio a plazo subyacente.

De hecho, el documento de Merton "Theory of rational option pricing", escrito más o menos al mismo tiempo que el documento de BS (por eso la gente a veces se refiere al modelo de BS como el modelo de Black-Scholes-Merton), no suponía que el tipo de interés fuera constante. Pero el documento de Merton se publicó unos meses después del documento de Black & Scholes, por lo que la idea de que el tipo debe ser constante se mantuvo.

Answer 2

Los precios de las opciones europeas no dependen de la estructura temporal de la volatilidad implícita.

Para fijar el precio de una opción europea, basta con conocer la distribución terminal del spot en el momento del vencimiento $T$ .

Así que, en este sentido, es matemáticamente coherente valorar las opciones europeas utilizando el tramo de vol implícito al vencimiento $T$ incluso si la superficie muestra una estructura de términos.

Por otro lado, esto no es cierto para las opciones americanas debido a la posibilidad de un ejercicio anticipado que crea una dependencia de la volatilidad local del spot en varios momentos.

Dicho esto, no está claro lo que quiere decir con "invertir en esta estructura de plazos", ¿podría aclararlo?