Número esperado de días dentro de un corredor

Question

Hay una simple (ish) la aproximación para el número esperado de pasos que una caminata aleatoria es dentro de un conjunto de límites durante un determinado período de tiempo? - en particular, si presumo de registro normal y constante vol.

Si yo quiero hacer con algo como local/estocástico/ambos vol, entonces hay una manera de hacerlo sin tener que recurrir a MC/difusión?

Answer 1

Esto me parece más una gama de acumulación. Deje $t_1, \ldots, t_n$ donde $0 < t_1 < \cdots < t_n$ ser días en los negocios que están siendo considerados. Calculamos \begin{align*} E\left(\sum_{i=1}^n \pmb{1}_{b_1 < S_{t_i} < b_2} \right) &=\sum_{i=1}^n E\left(\pmb{1}_{b_1 < S_{t_i} < b_2} \right)\\ &=\sum_{i=1}^n \left[E\big(\pmb{1}_{S_{t_i} > b_1}\big) -E\big(\pmb{1}_{S_{t_i} \ge b_2} \big) \right]\\ &=\sum_{i=1}^n \left[\Phi\big(d_2^i(b_1)\big) - \Phi\big(d_2^i(b_2)\big)\right], \end{align*} donde, para la constante positiva $K$, \begin{align*} d_2^i(K) = \frac{\ln\frac{S_0}{K} + \big(r-\frac{1}{2}\sigma^2 \big) t_i}{\sigma \sqrt{t_i}}. \end{align*} Para el general de volatilidad estocástica, no hay ningún método sencillo. Monte Carlo puede ser necesaria.