¿Rendimientos esperados frente a precios esperados?

Question

Puede que esta sea la pregunta más estúpida que se haya hecho aquí, así que siento de antemano haberla hecho.

Supongamos que tenemos un valor de un solo período que da dividendos $D_{t+1}$ y tiene precio actual $P_t$ . Por definición que tenemos: $$R_{t+1}\equiv\frac{D_{t+1}}{P_t}\ \ (1)$$ Aquí está el primer problema:Creo que no estoy haciendo ninguna suposición al decir que por definición sigue siendo cierto eso: $$P_{t}\equiv\frac{D_{t+1}}{R_{t+1}} \ \ (2)$$ Así que si tomamos las expectativas de (1) y (2) tenemos: $$E[R_{t+1}]=E\left[\frac{D_{t+1}}{P_t}\right]= \frac{E[D_{t+1}]}{P_t}\ \ (1^E)$$ $$E[P_{t}]=P_t=E\left[\frac{D_{t+1}}{R_{t+1}}\right] \ \ (2^E)$$ Así que si resolvemos $(1^E)$ para el precio tenemos la siguiente equivalencia : $$P_t=E\left[\frac{D_{t+1}}{R_{t+1}}\right]=\frac{E[D_{t+1}]}{E[R_{t+1}]} \ \ (3)$$ La razón por la que estoy desconcertado es que, en general, $E[\frac{X}{Y}]\neq\frac{E[X]}{E[Y]}$ . No veo mi error dado que creo que sólo he trabajado con definiciones (que deberían ser válidas tanto ex-post como ex-ante) y he tomado expectativas de ellas.

Answer 1

Tiene razón al decir que $$E\bigg[\frac{X}{Y}\bigg] \ne \frac{E(X)}{E(Y)}$$ Aquí, ambos $X$ y $Y$ son variables aleatorias y por lo que su relación es, por definición, una variable aleatoria también. Si $Z$ es RV tal que $$Z=\frac{X}{Y} \Rightarrow E[Z] = E[\frac{X}{Y}] \neq \frac{E(X)}{E(Y)}$$

Pero en su caso, $Z$ no es una variable aleatoria sino conocida y constante . Ver , $$R_{t+1}= \frac{D_{t+1}}{P_t} \Rightarrow P_t = \frac{D_{t+1}}{R_{t+1}}$$ donde $P_t$ se conoce en el momento $t$ o constante. Por eso, tenemos $$P_t = E\left[\frac{D_{t+1}}{R_{t+1}}\right] = \frac{E(D_{t+1})}{E(R_{t+1})}=\frac{E(D_{t+1})}{E(D_{t+1})/P_t} = P_t$$