Método para encontrar una oportunidad de arbitraje cuando el precio de mercado de la compra es incorrecto

Question

La solución de la ecuación de Black-scholes es el precio de una call europea. Y el precio de la opción supone que la acción subyacente es un movimiento browniano geométrico con volatilidad $\sigma_{1}>0$ .

Supongamos, sin embargo, que el activo subyacente es realmente un movimiento browniano geométrico con volatilidad $\sigma_{2} > \sigma_{1}$ es decir \begin{equation} dS(t) = \alpha S(t)dt + \sigma_{2}S(t)dW(t). \end{equation}

En consecuencia, el precio de mercado de la llamada es incorrecto.

¿Podemos crear una cartera que tenga una oportunidad de arbitraje en el mercado? Además, ¿existe algún método para generar una oportunidad de arbitraje en la cartera (cómo considerar este problema)?

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Inspirado por AFK, intento responder a esta pregunta por mí mismo de forma matemática.

En primer lugar, la idea principal de generar la cartera con oportunidad de arbitraje es comprar una opción de compra y a $\sigma_{1}$ y vender una opción de compra a un precio de $\sigma_{2}$ . es decir \begin{equation} X(t) = c(t,S(t)) - c^{\sigma_{2}}(t,S(t)) \end{equation} donde $X(t)$ denotan el valor de la cartera, $c(t,S(t))$ es el valor de la opción en el momento $t$ y $c^{\sigma_{2}}$ es el valor de la opción cotizada en $\sigma_{2}$ .

En realidad, $c^{\sigma_{2}}$ no era la salida en el mercado, pero no importa ya que se puede replicar por la cobertura, lo que significa, \begin{equation} X(t) = c(t,S(t)) - c_{x}(t,S(t))S(t) - \Gamma(t)M(t) \end{equation} Ahora, queremos demostrar que X(t) tiene oportunidad de arbitraje.

Es trivial ver que X(0) = 0, entonces queremos demostrar que dX(t) > 0 (En realidad, finalmente demostramos que de^{-rt}X(t) > 0). Por la fórmula de Ito, encontramos que $$ dc(t,S(t)) = c_{t}dt + c_{x}dS(t) + 1/2c_{xx}d[S,S](t) $$ y $$ dX(t) = dc(t,S(t)) - c_{x}dS(t) - r(c - X(t) -c_{x}S(t))dt. $$ Entonces, sustituyendo dc en esta ecuación, obtenemos $$ dX(t) = (c_{t}+1/2c_{xx}\sigma_{2}^{2}S(t)^{2}-rc+rc_{x}S(t))dt + rX(t) $$ Obsérvese que c(t,S(t)) sigue la ecuación de Black-scholes con $\sigma_{1}$ , por lo que tenemos $$ dX(t) - rX(t) = (c_{t}+1/2c_{xx}\sigma_{1}^{2}S(t)^{2}-rc+rc_{x}S(t))dt + 1/2c_{xx}(\sigma_{2}^{2} - \sigma_{1}^{2})S(t)^{2}dt $$ es decir $$ de^{-rt}X(t) = 1/2c_{xx}(\sigma_{2}^{2} - \sigma_{1}^{2})S(t)^{2}dt $$ Siempre es positivo ( $\sigma_{2}>\sigma{1}$ y $c_{xx}>0$ ).

En resumen, X(t) es una cartera con X(0) = 0, y de^{-rt}X(t) es siempre positiva, es decir, tiene oportunidad de arbitraje.

Si hay algún problema en mi idea y mi prueba, por favor hágamelo saber.

Answer 1

Creo que la réplica delta de $\sigma_2$ es sólo una forma elegante de decir "cobertura de la opción de compra adquirida a $\sigma_1$ volatilidad, con deltas basados en $\sigma_2$ volatilidad". Esto es un arbitraje completo en caso de que la cobertura/replicación sea óptima, y sólo un arbitraje estadístico en la vida real. Probablemente no se necesita una prueba tan sofisticada de por qué se trata de un arbitraje, porque en caso de replicación perfecta, su cartera de replicación ganará sólo el valor justo de la opción (basado en $\sigma_2$ volatilidad). Y siempre que compre la opción a un precio más bajo, tendrá un arbitraje.

Esta pregunta es probablemente un duplicado de: Arbitraje de volatilidad: ¿cómo se extrae el beneficio? (el enlace es a mi respuesta, ver también información valiosa en los comentarios).