¿Por qué los teóricos de los juegos utilizan un pago descontado de esta forma?

Question

Disculpen el título. Me he dado cuenta de que el pago descontado en la literatura de la teoría de juegos suele adoptar la forma

$$\sum_{t=1}^\infty\lambda(1-\lambda)^{t-1}R_t$$

Esto difiere de la retribución descontada en los otros escenarios de optimización dinámica, por ejemplo, véase la Ecuación de Bellman en la teoría del control.

¿A qué se debe esta diferencia?

Answer 1

Según mi experiencia, se trata sobre todo de limpieza para obtener resultados.

Consideremos un juego repetido de horizonte infinito, con representación de pagos descontados (donde utilizo $\delta = (1-\lambda)$ en su notación) $$ (1-\delta)\sum_{t=0}^{\infty}\delta^t R_t $$ donde $0 < \delta < 1$ .

Supongamos que juego una estrategia que me da la misma ganancia, digamos $a$ para cada período $t$ . Entonces, $$ (1-\delta)\sum_{t=0}^{\infty}\delta^t a = (1-\delta)\frac{a}{1-\delta} = a $$ que es más limpio que $$ \frac{a}{1-\delta} $$ Como nota al margen, multiplicar la utilidad por una constante no cambia las preferencias, por lo que mantenemos las preferencias inherentes iguales.

Answer 2

¿Se refiere a partidas repetidas, en las que el jugador $i$ obtiene un pago de la forma $$(1-\delta)\sum_{t=0}^{\infty}\delta^{t}u_{i}(x_{i}^{t})$$

de la secuencia de pagos $\left\{x_{i}^{t}\right\}$ ? En $(1-\delta)$ se añade a la parte delantera para dar el media por periodo de pago.