El tratamiento clásico de GBM para la fijación de precios de bienes lleva a un punto en donde finalmente se obtiene una solución que es la misma que suponiendo un subyacente aritmética movimiento Browniano, $X_t$, lo que ha (unidad de tiempo) a la deriva igual a $\mu-\frac{\sigma^2}{2}$y un término aleatorio $\sigma B_t$, a continuación, obtener $S_t=S_0e^{X_t}$, y los precios son de registro-normalmente distribuida.
Cuando se ve de esta manera, parece que en cualquier camino de $X_t$ es el "total return" de $t=0$ hasta el tiempo de $T$. Está formado por tomar la deriva/retorno para un período de tiempo, Ajustado por el "offset" que surge del azar plazo después de la toma de $e^x$ (Debido a la desigualdad de Jensen) y dividir el tiempo en más y más pequeños incrementos en donde cada uno tiene un determinista tamaño de $\frac{\mu -\frac{\sigma^2}{2}}{n}$, añadido a infinitessimal independientes y aleatorias distribuidas normalmente incrementos de crear el camino de $X_0$ a $X_t$.
Estoy tratando de conseguir este conciliar con una discreta intuición acerca de las devoluciones y de capitalización. Si definimos $r=\mu -\frac{\sigma^2}{2}$durante un período, una de ellas es añadir un incremento cada vez que se distribuye como $N(\frac{r}{n}, \frac{\sigma^2}{n})$. En el precio del espacio, esto es como multiplicar el precio de veces $(1+\frac{r}{n})$ (más que el azar plazo, por supuesto).
Ahora, como $n\to \infty$, es cierto que (1) estos aditivos micro-devuelve en $X$-espacio de la unidad de $X_t$ tal que $e^{X_t}$ da el mismo resultado que la aplicación de las multiplicaciones en el precio-espacio; y (2) uno obtiene el registro de una distribución normal de los precios?
El tipo de clave de la cuestión que estoy tratando de llegar es a esto: con diferentes rendimientos, donde se hace el registro de la normalidad vienen en los precios, y cómo es que con el cuadrado de la composición en el límite con la devuelve en el precio del espacio?
Sabemos que $e^{X_t}$ es siempre no negativo. Sin embargo, el uso de una media aritmética BM y, a continuación, tomar el exponente parece el mismo acciones como la toma de infinitessimally tamaño, distribuidos normalmente devuelve $r_t$ y el cálculo, como $n\to \infty$,
$$S_t=S_0\prod (1+r_t)$$ (además de, por supuesto, la aleatoriedad).
Si ese es el caso, entonces el log-normalidad no viene de $\mu$ cuando tomamos $e^\mu...$, ya que es sólo el procesamiento continuo si $\sigma=0$ - proviene de la aleatorios plazo (por lo tanto, ¿por qué tenemos que restar $\frac{\sigma^2}{2}$ para mantener la alineación con discreto/determinista de la capitalización de los cálculos.)
El problema que yo veo con la equivalencia es que el enfoque que estoy tratando de usar en el precio-espacio,el encadenamiento de la multiplicación de pequeñas cantidades de $(1+r_t)$ donde cada una de las $r_t$ se distribuye normalmente con una pequeña r y un pequeño $\sigma$ en el límite, aún tiene la oportunidad de tener retornos negativos bastante grande que hace que los precios van negativo. Las probabilidades de esto son pequeños: como $n$ crece, $(1+N(\cdot ,\cdot))$ termina con una media de$ (1+\epsilon _1)$ y la varianza de $\epsilon_2^2$, donde ambos se $\epsilon _1$ e $\epsilon_2 <<1$ - por lo que la posibilidad de una negativa de devolución de más de 100% se convierte en minúscula.
Mi sospecha es que uno podría argumentar que $P(1+N(\frac{r}{n}, \frac{\sigma^2}{n})<0)=0$ as $n\to \infty$ con la suficiente rapidez que está bien.
