Verificar que el valor extremo cópula es de hecho una cópula

Question

Dada la extrema valor de la cópula, como se define en Schölzel/Friederichs (2008), ¿cómo hace uno para comprobar que $\frac{\partial C(u_1, u_2)}{\partial u_1} \geq 0?$ Para la LHS, he $$\exp\left[\log(u_1u_2)A\left(\frac{\log(u_2)}{\log(u_1u_2)}\right)\right]\left[\frac{1}{u_1}A\left(\frac{\log(u_2)}{\log(u_1u_2)}\right)-\frac{\log(u_2)}{u_1\log(u_1u_2)}A^{\prime}\left(\frac{\log(u_2)}{\log(u_1u_2)}\right)\right]$$

La derivada es la causa de la dificultad. Cualquier ayuda sobre progresando sería muy apreciada.

Answer 1

Tenga en cuenta que, usted sólo tiene que mostrar que \begin{align*} A\left(\frac{\log(u_2)}{\log(u_1u_2)}\right)-\frac{\log(u_2)}{\log(u_1u_2)}A'\left(\frac{\log(u_2)}{\log(u_1u_2)}\right) \ge 0, \end{align*} o, por cualquier $t \in (0, 1)$, \begin{align*} A(t) - t A'(t) \ge 0. \end{align*} Recordemos que $A$ es una función convexa de $[0,\, 1]$ a $[1/2,\, 1]$, $A(0)=A(1)=1$, e $A(t) \ge \max(t, 1-t)$. De la convexidad, la ruta de acceso de la función siempre está por encima de la línea tangente en cualquier punto. Esto es, para cualquier $\xi, t \in (0, 1)$, \begin{align*} A(\xi) \ge A(t) + A'(t) (\xi -t). \end{align*} Deje $\xi\rightarrow 1$, \begin{align*} 1 \ge A(t) + A'(t) (1 -t). \end{align*} En otras palabras, \begin{align*} A'(t) (1 -t) &\le 1-A(t)\\ &\le 1-t. \end{align*} En consecuencia, $A'(t) \le 1$. A continuación, \begin{align*} A(t) - t A'(t) \ge A(t) - t \ge 0. \end{align*}

Answer 2

Adjunto contiene una lista muy detallada de la cuenta (véase también el apéndice a para la derivación ofnyhe derivados):

https://mediatum.ub.tum.de/doc/1145695/1145695.pdf

Espero que esto ayude.