Derivación matemática de la frontera de posibilidades de producción

Question

¿Cuáles son los fundamentos matemáticos de la frontera de posibilidades de producción? ¿Cómo puedo derivarla? ¿Puedo tener un ejemplo para ello?

Answer 1

La pregunta es amplia, pero creo que hay mucha literatura que define este concepto en términos igualmente amplios. Lo siguiente es una adaptación de la Wikipedia sobre Eficiencia de Pareto , que es la base matemática del Frontera de posibilidades de producción.

Es posible que haya definiciones mejores, pero ésta debería funcionar en muchos casos:

El Frontera de posibilidades de producción , $P(Y)$ puede describirse más formalmente como sigue. Consideremos un sistema con la función $f: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m$ , donde $X$ es un espacio compacto de decisiones factibles (incluyendo asignaciones de tiempo y bienes de dotación) en el espacio métrico $\mathbb{R}^n$ y $Y$ es el conjunto factible de vectores de criterios (digamos, bienes y servicios finales) en $\mathbb{R}^m$ , de tal manera que $Y = \{ y \in \mathbb{R}^m:\; y = f(x), x \in X\;\}$ .

Suponemos que se conocen las direcciones preferidas de los valores de los criterios para que más de cualquier bien en $Y$ es mejor. Un punto $y^{\prime\prime} \in \mathbb{R}^m$ domina estrictamente otro punto $y^{\prime} \in \mathbb{R}^m$ , escrito como $y^{\prime\prime} > y^{\prime}$ significa que para cada elemento índice $i$ , $y''_i \geq y'_i$ y hay al menos un elemento $j$ tal que $y_j'' > y_j'$ . La frontera de Pareto se escribe así

$P(Y) = \{ y^\prime \in Y: \; \{y^{\prime\prime} \in Y:\; y^{\prime\prime} > y^\prime, y^{\prime\prime} \neq y^\prime \; \} = \emptyset \}. $

Answer 2

Obsérvese que no siempre es posible encontrar una expresión algebraica para la FPP.

---

Un contexto en el que se suele encontrar la FPP es en un modelo 2x2, donde hay dos sectores o bienes ( $x$ y $y$ ) y dos factores de producción ( $K$ y $L$ ). La forma de la FPP depende de la intensidades relativas en que cada sector/bien utiliza esos factores.

Por ejemplo, supongamos que cada sector $j$ tiene una función de producción CRS $F_j(K_j,L_j)$ con diferentes parámetros tecnológicos. Supongamos también una dotación fija de factores de producción, una movilidad completa de los factores entre sectores y mercados competitivos, de manera que el pago de los factores de producción se ajusta libremente para asignar los factores a los sectores. Supongamos también que el precio de los bienes es fijo, por ejemplo, como si la economía fuera pequeña y estuviera abierta a los mercados internacionales.

Para un conjunto dado de precios relativos de los factores, $r/w$ común a ambos sectores, los factores relativos óptimos de cada sector vienen dados por:

$$ \dfrac{\frac{\partial F_x}{\partial K_x}}{\frac{\partial F_x}{\partial L_x}} = \frac{r}{w} = \dfrac{\frac{\partial F_y}{\partial K_y}}{\frac{\partial F_y}{\partial L_y}} $$

La primera fracción anterior es una función de $\frac{K_x}{L_x}$ mientras que la última fracción es una función de $\frac{K_y}{L_y}$ . Ya que por definición $L_x+L_y=L$ y $K_x+K_y=K$ tenemos un sistema de tres ecuaciones con cuatro incógnitas. Esto significa que podemos reducir el sistema a una ecuación con dos incógnitas. Si esta ecuación da una solución de forma cerrada para una variable en términos de la otra (por ejemplo $L_x=f(K_x$ ) depende de la forma funcional de $F_j$ . Aparentemente, esto sólo es posible en el caso de funciones de producción triviales como Cobb-Douglas o Leontief (para un ejemplo de la primera, véase aquí ).

Suponiendo que podamos encontrar dicha ecuación $L_x=f(K_x$ ), la solución algebraica de la FPP es inmediata. Esto se debe a que se han reducido las cuatro variables de dotación en términos de una sola (por ejemplo, $K_x$ ). Por lo tanto, para encontrar la FPP se puede evaluar $F_x$ y $F_y$ para todos los valores posibles de $K_x$ y dibujar el mapa. Como alternativa, puedes resolver la ecuación homogénea $x-F_x(K_x)=0$ para $K_x$ en función de $x$ y luego reemplazar esto $K_x^*(x)$ en $F_y$ de donde se obtiene $y=f(x)$ teniendo en cuenta las restricciones del espacio de las variables (es decir $x,y>0$ ). Obsérvese de nuevo que no siempre es posible resolver la ecuación homogénea anterior. Para un ejemplo en el que es posible, véase el enlace anterior. El PPF podría ser así:

Para cerrar el modelo, la forma en que se encuentra el equilibrio real depende de los precios internacionales, donde el MRS es tangente al PPF. Alternativamente, en una economía cerrada, la isocuanta de las preferencias de los consumidores proporciona el MRS.

---

Para complementar el comentario de @jmbejara sobre la relación entre la FPP y la optimalidad de Pareto, obsérvese que la condición de que el STM sea igual a los precios relativos de los factores es exactamente la definición de optimidad de Pareto en un contexto de producción. Podemos ver esto en el cuadro de Edgeworth. Para las funciones de producción estándar, las isocuantas de cada bien son funciones convexas en el $\{K,L\}$ espacio. Podemos ver la caja de Edgeworth de esta economía:

El ejemplo anterior es claramente ineficiente, ya que los salarios relativos pueden ajustarse hasta que la TRM sea la misma en todos los bienes. En efecto, la asignación óptima es:

Answer 3

Supongamos que sólo hay dos bienes. El precio de Y está definido por la cantidad X y el precio de Y está definido por X respectivamente. Entonces, suponiendo una cantidad fija de recursos de producción (por ejemplo, trabajo y capital), se podría obtener la FPP. En este contexto, las funciones de costes deben definirse en función de otros productos. Si utilizamos X como producto básico, la función de posibilidad de producción global podría escribirse como $ Q=c(x,y) $ y $ y=f(x) $ entonces, una diferenciación total podría resolver el problema. $$ dQ=MC_x dx + MC_y { \frac{dy}{dx}} dx $$ $dQ=0$ por lo tanto, $$ \frac{dy}{dx} =- \frac{MC_x}{MC_y} $$

Los detalles son aquí .