Lo siguiente está tomado de Nti (1999)
Consideremos un juego de 2 jugadores en el que cada uno realiza un esfuerzo para intentar ganar un premio. Sea $V_1$ ser jugador $1$ de la valoración del premio y dejar que $V_2$ ser jugador $2$ La valoración de la empresa, donde $0<V_1< V_2$ . Jugador $1$ y $2$ gastar esfuerzos $x_1$ y $x_2$ respectivamente para ganar el premio $p=1$ . El coste del esfuerzo es $1$ por unidad. Dado un perfil de niveles de esfuerzo ( $x_1$ , $x_2$ ), la probabilidad de que el jugador i gane el premio toma la forma simétrica
$$p_i(x_1,x_2)=\frac{x_i^r}{x_1^r+x_2^r}$$
$r$ es el parámetro de los rendimientos a escala asociados al esfuerzo $r>0$ . El beneficio es
$$\pi_i(x_1,x_2)=v_i\frac{x_i^r}{x_1^r+x_2^r}-x_1$$
En equilibrio (Nash-Cournot) el jugador $i$ ejerce el esfuerzo $x_i^*$ : $$x_i^*=\frac{rv_i^{r+1}v_{-i}^r}{(v_1^r+v_2^r)^2}$$
Si ambos siguen la estrategia de equilibrio, $i$ La probabilidad de que gane es $P_i=\frac{v_i^r}{v_1+v_2^r}$ . Insertando estas dos en la segunda ecuación para el jugador 1 (con simplificación) se obtiene
$$\pi_1(x_1^*,x_2^*)=\frac{v_1^{r+1}}{(v_1^r+v_2^r)^2}\big[v_1^r+v_2^r-rv_2^r\big]$$
La condición de segundo orden (de suficiencia) $\frac{\partial^2\pi_1}{\partial{x_1^2}}=\frac{rv_1^{1-r}x_2^rx_1^{2r-2}}{(x_1^r+x_2^r)^3}\big[rv_2^r-v_2^r-v_1^r-rv_1^r\big]$ se cumple si $$rv_2^r-v_2^r-v_1^r-rv_1^r<0$$
Sin embargo, está claro que para $x_1^*$ para ser un Equilibrio de Nash, $\pi_1(x_1^*,x_2^*)\geq0$ y por lo tanto que $$v_1^r+v_2^r>rv_2^r$$
que es un requisito más fuerte que la condición de segundo orden. Por lo tanto, es posible que se cumpla la condición de segundo orden pero no que $v_1^r+v_2^r>rv_2^r$ . Mi pregunta es ¿qué ocurre cuando esto ocurre? ¿No hay un equilibrio de Nash en este caso? ¿Se retira el jugador que obtiene un beneficio negativo y, en ese caso, qué hace el jugador restante?
