Identidad dada en Shreve volumen 1

Question

en una solución a una pregunta sobre el paseo aleatorio (5.3 i), Parte de la respuesta incluye la identidad:

$$\ln \frac{1+\sqrt{1-4 pq}}{2p}=\ln\frac{1-p}{p}$$

tenga en cuenta que $p+q=1$ e $0<p<1/2<q<1$.

esto no parece cierto a mí, incluso cuando yo restringir los valores de $p,q$ adecuadamente. Lo que me estoy perdiendo?

Answer 1

El uso de $q = 1-p$ podemos trabajar la raíz como: $$\sqrt{1-4pq} = \sqrt{1-4p(1-p)} = \sqrt{1-4p+4p^2} = \sqrt{(1-2p)^2}$$

Tomando lo positivo de la raíz, esto reduce a $(1-2p)$. Esto da por la fracción:

$$\frac{1 + \sqrt{1-4pq}}{2p} = \frac{1 + (1-2p)}{2p} = \frac{1-p}{p}$$

Esto también se mantiene en el interior del logaritmo.