Explicación de la solución de esquina de las funciones de utilidad cóncavas

Question

Parece que no lo entiendo. ¿Podría alguien explicarme la forma matemática de demostrar que una función de utilidad cóncava [como (ax^2+by^2)] sujeta a una restricción presupuestaria tiene una solución de esquina? Entiendo la intuición económica que hay detrás, pero no la parte matemática que hay detrás.

Answer 1

Intuitivamente, se puede ver que las soluciones de esquina se encuentran en la curva de indiferencia más alta posible (para preferencias cóncavas). Por lo tanto, la utilidad obtenida será mayor en esos puntos. La siguiente figura (cortesía) Google Imágenes ) puede ayudar a visualizar la afirmación anterior.

Matemáticamente, es un poco difícil visualizar lo que sucede. Sin embargo, las condiciones de Kuhn Tucker pueden indicarle si existe o no una solución de esquina (tenga en cuenta que la concavidad/convexidad de las preferencias no sirven de nada cuando se utiliza el Teorema de Kuhn-Tucker, pero hay que comprobar la diferenciabilidad de la función objetivo/las restricciones). En primer lugar, según el Teorema de Weierstrass, se garantiza que un punto óptimo para $U(x_1,x_2)$ existe en el conjunto del presupuesto $B(p_1,p_2,w)=\{(x_1,x_2):p_1 x_1 + p_2 x_2 \leq w\}$ (sólo si $U(x_1,x_2)$ es continua en el dominio dado, es decir, el conjunto de presupuestos). Esto nos dice que no podemos descartar ninguna solución/punto óptimo en el que $x_1=0$ o $x_2=0$ o ambos. Ahora, para comprobar si existe una solución de esquina o no, podemos proceder como sigue. Consideremos el problema de maximización

\begin{gather*} \max\ U(x_1,x_2); \\ s.t.\ p_1x_1+p_2x_2\leq w;\ x_1\geq 0, x_2\geq 0.\\ \end{gather*} El lagrangiano de Kuhn Tucker viene dado como \begin{align} L = U(x_1,x_2)+ \lambda(w-p_1x_1+p_2x_2)+ \mu_1 x_1+ \mu_2 x_2. \end{align}

Las condiciones de Kuhn Tucker se dan como \begin{gather*} \frac{\partial L}{\partial x_1}\leq0\tag{1}\\ \frac{\partial L}{\partial x_2}\leq0\tag{2}\\ \frac{\partial L}{\partial \lambda}\leq0 ,\ \frac{\partial L}{\partial \mu_1}\leq0\ ,\frac{\partial L}{\partial \mu_2}\leq0\tag{3}\\ \lambda\frac{\partial L}{\partial \lambda}=0\tag{4}\\ \mu_1\frac{\partial L}{\partial \mu_1}=0\ ,\mu_2\frac{\partial L}{\partial \mu_2}=0\tag{5} \end{gather*}

Los signos de desigualdad en las condiciones $(1)$ y $(2)$ puede sustituirse por el signo de igualdad, si las restricciones son vinculantes (puede leer más sobre las restricciones vinculantes/calificaciones de las restricciones en Simon y Blume).

Sin embargo, el problema dado de las soluciones de esquina puede entenderse a partir de las condiciones en $(5)$ que dicen que $\mu_1 x_1=0$ y $\mu_2 x_2=0$ . Estas ecuaciones nos dicen que cualquiera de los dos (o ambos) $\mu_i=0$ o cualquiera (o ambos) de los $x_i = 0$ . Considerando todos los casos anteriores uno por uno, podemos averiguar si existe una solución de esquina o no.

Por ejemplo, si la función de utilidad está dada como $U(x_1,x_2) = x_1 + \ln(x_2)$ las soluciones obtenidas utilizando el teorema de Kuhn Tucker son-

\begin{gather*} x_1= \begin{cases} \frac{w}{p_1} - 1,& \text{if } w>p_1\\ 0, & \text{otherwise} \end{cases} \\ x_2= \begin{cases} \frac{p_1}{p_2} ,& \text{if } w>p_1\\ \frac{w}{p_2}, & \text{otherwise} \end{cases} \end{gather*}

Las soluciones de esquina en este caso se obtienen siempre que $w\leq p_1$ .