Derive una expresión para el valor de los activos como una función del tiempo, V(t), t>=0

Question

Un inversionista depósitos de 300 USD en una cuenta bancaria en el momento 0, reinvierte todos los pagos de intereses y continuamente invierte USD 300 por año, hasta el valor total de los depósitos alcanza USD 3312. En ese momento, el inversor deja de hacer depósitos adicionales, pero todavía permite que los pagos de intereses se acumulan en la cuenta.

La educación a distancia para el valor de los depósitos, $V$, más de tiempo, a continuación,, $$\frac{dV}{dt}=r(t)V(t)+I(t),$$ where $ I(t)=300$ until $V(t)$ reaches $V$=3312, at which point $I(t)$ instantaneously switched to $I(t)=0.$ Also, $r(t)=\frac{1}{20+\frac{t}{2}}$.

Derive una expresión para el valor de los activos como una función del tiempo, $V(t)$, $t\geq 0.$

$\textbf{My Approach: }$

He probado el problema mediante el uso de la fórmula, $$V(t)=e^{-P(T)}\Bigg{(}\int_{0}^{T}e^{P(t)}q(t)dt + c\Bigg{)}, \text{ } c\in \mathbb{R},$$ donde $P(t)=\int_{0}^{t}r(t)dt$. No sé cómo progresar más. Cualquier ayuda será muy apreciada. Gracias de antemano

Answer 1

Supongamos $P$ es el total anual de los depósitos realizados continuamente, entonces el cambio en el valor de los depósitos totales $dV_t$ es (suponiendo que no hay condiciones sobre depósitos adicionales) $$dV_t= V_t r dt + P dt $$ donde asumimos $r$ es constante. Resolver sobre la ecuación diferencial, tenemos: $$V_T = V_0 e^{rT} + \frac{P}{r} (e^{rT} -1)$$

Asumiendo $t_1$ es el período de tiempo en que $V_T$ alcance el límite de $(K)$ (que es 3312 en la pregunta), a partir de entonces el inversor deja de hacer los depósitos. Así, el valor de los depósitos en el momento $t_1$ es: $$V_{t_1} = V_0 e^{r t_1} + \frac{P}{r} (e^{rt_1} -1) = K$$ Usted puede resolver la ecuación anterior numéricamente para derivar $t_1$. Después de $t_1$, no es fresco depósitos, por lo que su cuenta de crecer normalmente y el valor de la cartera en $T \{T > t_1 \}$ es $$V_T = V_{t_1} e^{r(T-t_1)} = K e^{r(T-t_1)} \quad \quad \,T > t_1$$

Así, la expresión para el valle de los depósitos es:

\begin{equation} V_T = \begin{cases} V_0 e^{rT} + \frac{P}{r} (e^{rT} -1) \quad & T \leq t_1\\ Ke^{r(T-t_1)} \quad \quad \quad \quad \quad & T> t_1 \end{casos} \end{equation}

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Edit: Suponiendo que la tasa de interés $r$ como una función del tiempo.

En este caso, el valor de los depósitos en el momento $T$ es: $$V_T = V_0 e^{\int_{0}^{T}r(t)dt} + \int_{0}^{T} Pe^{\int_{0}^{t}r(s)ds}dt$$

Answer 2

Vamos a ser $V_0=300$ el depósito en $t=0$, $V(T)=3312$ el valor en $t=T$, e $r(t)=\frac{1}{20+t/2}=\frac{b}{a+t}$ la tasa de interés con $a=40$ e $b=2$. Denotar $$I(t)=\rho\left(1-H(t-T)\right)$$ the rate of payment at any time in the range $[0,T]$ where $\rho=300$ and $H(t)$ is the Heaviside function or step function defined as $$H(t)=\begin{cases} 1 & t> 0\\ 0 & t\le 0 \end{casos}$$ así que $$I(t)=\begin{cases} 0 & t> T\\ \rho & 0\le t\le T \end{casos}$$ Así que usted tiene que resolver $$ \frac{\mathrm d V}{\mathrm d t}=r(t) V(t)+I(t)\tag 1 $$ que es de primer orden no lineal de la educación a distancia. Es mejor resolver la ecuación (1) por separado en los intervalos de tiempo $t\le T$ e $t>T$ considerando los siguientes dos lineal ODE $$ \begin{align} \frac{\mathrm d V}{\mathrm d t}&=r(t) V(t)+\rho & 0\le t\le T\tag 2\\ \frac{\mathrm d V}{\mathrm d t}&=r(t) V(t) & t> T\tag 3 \end{align} $$ La solución general de la $\dot x(t)+p(t)x(t)=q(t)$ es $$ x(t)=\frac{1}{u(t)}\left(\int u(t)q(t),\mathrm{d}t+C\right) \qquad \text{donde } u(t)=\mathrm{e}^{\int p(t)\mathrm{d}t} $$ Entonces tenemos para la ecuación (2) $$ V(t)=\mathrm{e}^{P(t)}\left(\int_0^t \rho \mathrm{e}^{-P(s)}\mathrm{d}s+C\right)\etiqueta 4 $$ donde $$P(t)=\int_0^t r(s)\mathrm{d}s=b\log\left(1+\frac{t}{a}\right)\tag 5$$ y $\mathrm{e}^{P(t)}=\left(1+\frac{t}{a}\right)^b$.

La condición de $V(0)=V_0$ conduce a $C=V_0\mathrm{e}^{-P(0)}=V_0$ porque $P(0)=0$. A continuación, el (4) se convierte en $$ \begin{align} V(t)&=V_0\mathrm{e}^{P(t)}+ \mathrm{e}^{P(t)}\int_0^t \rho \mathrm{e}^{-P(s)}\mathrm{d}s\\ &=V_0\left(1+\frac{t}{a}\right)^b+\rho\mathrm{e}^{P(t)}\int_0^t \left(1+\frac{s}{a}\right)^{-b}\mathrm{d}s\\ &=V_0\left(1+\frac{t}{a}\right)^b+\rho\left(1+\frac{t}{a}\right)^b\left[\frac{(a+t)^{1-b}a^b}{(1-b)}-\frac{a}{1-b}\right]\\ &=V_0\left(1+\frac{t}{a}\right)^b+\rho\left[\frac{a+t}{1-b}-\frac{(a+t)^{b}a^{1-b}}{1-b}\right]\\ &=V_0\left(1+\frac{t}{a}\right)^b+\frac{\rho a}{1-b}\left[\left(1+\frac{t}{a}\right)-\left(1+\frac{t}{a}\right)^b\right] \tag 6 \end{align} $$ La solución de (3) es $$ V(t)=V(T)\mathrm{e}^{P(t)-P(T)}\etiqueta de 7 $$ donde a partir de (6) $$V(T)=V_0\left(1+\frac{T}{a}\right)^b+\frac{\rho a}{1-b}\left[\left(1+\frac{T}{a}\right)-\left(1+\frac{T}{a}\right)^b\right]\tag 8$$ Finalmente, la solución es

$$ V(t)= \begin{cases} V_0\left(1+\frac{t}{a}\right)^b+\frac{\rho a}{1-b}\left[\left(1+\frac{t}{a}\right)-\left(1+\frac{t}{a}\right)^b\right] & 0\le t\le T\\ V(T)\mathrm{e}^{P(t)-P(T)} & t> T \end{casos}\etiqueta 9 $$ o $$ V(t)= \begin{cases} V_0\mathrm{e}^{P(t)}+\frac{\rho a}{1-b}\left[\mathrm{e}^{P(t)/b}-\mathrm{e}^{P(t)}\right] & 0\le t\le T\\ V(T)\mathrm{e}^{P(t)-P(T)} & t> T \end{casos}\etiqueta {10} $$