Si he entendido bien el montaje, el gobierno no destruye bienes reales, sólo recauda dinero fiduciario y lo destruye para reducir la cantidad de dinero disponible (ya que el dinero está en manos de los individuos). El hecho de que el gobierno calcule la cantidad de dinero fiduciario a recaudar utilizando una base de bienes reales, $\tau$ no altera este hecho. Pero entonces, toda la dotación se consume y las acciones del gobierno sólo afectan al nivel de precios.
Algunas suposiciones:
a) la población es constante en $N$ por generación
b) todos los individuos son idénticos, por lo que podemos realizar el análisis estableciendo $N=1$
c) No hay motivos altruistas, así que no hay herencia
d) Los individuos hacen no trasladan los periodos de bienes reales: consumen parte de su dotación, y lo que no consumen, lo venden a cambio de dinero
e) el subíndice $1$ denota el consumo cuando es joven, y el subíndice $2$ consumo cuando es viejo.
Supongamos que estamos en el período de la economía $t+1$ . Los jóvenes llegan al mercado de bienes como proveedores, trayendo consigo $y-c_{1,t+1}$ de los bienes. Los antiguos acuden al mercado de bienes como compradores, trayendo consigo dinero fiduciario.
La compensación del mercado implica, en términos reales, que todos los bienes reales cambien de manos y que el Viejo que los compró los consuma. Así, obtenemos
$$c_{2,t+1} = y- c_{1,t+1} \implies c_{2,t+1} + c_{1,t+1} = y \tag{1}$$ En términos nominales, el equilibrio requiere que los ingresos totales de los proveedores sean iguales a los gastos totales de los compradores. Los ingresos totales son
$$TR_{t+1} = p_{t+1}(y-c_{1,t+1}) \tag{2}$$
Los viejos querrán gastar todo el dinero disponible (ya que el dinero no se consume per se, y no dejan herencia). El dinero que obtuvieron en el periodo anterior (antes de ser gravado) fue el Ingreso Total de Proveedores en el periodo $t$ . El impuesto se paga sobre $t+1$ tiene una base real $\tau$ por lo que su valor nominal es $T_{t+1} = p_{t+1}\tau$ . Por lo tanto, el gasto total es
$$TE_{t+1} = p_t(y-c_{1,t}) - p_{t+1}\tau \tag {3}$$
Equiparación $(2)$ y $(3)$ obtenemos
$$p_{t+1}(y-c_{1,t+1}) = p_t(y-c_{1,t}) - p_{t+1}\tau \implies p_{t+1}(y-c_{1,t+1} +\tau) = p_t(y-c_{1,t}) $$
y utilizando $(1)$ obtenemos una expresión que involucra los componentes del consumo de toda la vida del mismo individuo
$$p_{t+1}(c_{2,t+1}+ \tau) = p_t(y-c_{1,t})\tag{4}$$
Además, se nos dice que el dinero fiduciario que el gobierno recauda en forma de impuestos, lo destruye, apuntando a una tasa fija de reducción. Así que tenemos
$$m_{t+1} = m_t - T_{t+1} = m_t - p_{t+1}\tau = zm_t$$
$$\implies m_t = \frac {p_{t+1}\tau}{1-z} ,\;\; 0<z<1 \tag {5}$$
Sabemos que $m_t = p_t(y-c_{1,t})$ por lo que obtenemos
$$p_t(y-c_{1,t}) = \frac {p_{t+1}\tau}{1-z} \tag {6}$$
Combinando $(4)$ y $(6)$ vemos que el consumo de Old se determina exógenamente
$$ (4), (6) \implies p_{t+1}(c_{2,t+1}+ \tau) = \frac {p_{t+1}\tau}{1-z}$$
$$\implies c_{2,t+1} = \frac {z}{1-z}\tau \tag{7}$$
Desde la dotación $y$ también es exógena, el consumo cuando Young también se determina exógenamente (de $(1)$ )
$$ c_{1,t+1} = y-\frac {z}{1-z}\tau \tag{8}$$
Pero si $z$ y $\tau$ son constantes en el tiempo, entonces los subíndices de tiempo son irrelevantes. Cada generación consume exactamente lo mismo cuando es joven y cuando es vieja que la anterior y la siguiente:
$$c_1 = y- \frac {z}{1-z}\tau ,\;\; c_2 = \frac {z}{1-z}\tau \tag{9}$$
Utilizando $(9)$ junto con $(4)$ podemos determinar la evolución del nivel de precios
$$(4), (9) \implies p_{t+1}\left(\frac {z}{1-z}\tau+ \tau\right) = p_t\frac {z}{1-z}\tau$$
$$\implies \frac {p_{t+1}}{p_t} = z <1 \tag{10}$$
como era de esperar. Cantidad constante de bienes con una cantidad cada vez menor de dinero fiduciario $\implies$ deflación.
En cuanto a la cuestión de si el equilibrio aquí es maximizador del bienestar .
Eq. $(4)$ combinado con $(10)$ nos da la restricción presupuestaria de por vida. Suponiendo una utilidad logarítmica, el individuo resolvería
$$\max V = \ln(c_1)+ \frac 1{1+\rho}\ln(c_2)\\ s.t. \;\; y - zc_{2} - z\tau = c_{1} \tag {11}$$
La condición de primer orden con respecto a $c_2$ es
$$-z\frac 1 {c_1} + \frac 1{1+\rho}\frac 1 {c_2} = 0 \implies c_1 = (1+\rho)zc_2 \tag{12}$$
Combinando con la restricción presupuestaria de por vida, así como $(9)$ terminamos con una cuadrática en $z$ para que el equilibrio sea maximizador de la utilidad.
$$(11), (12) \implies (1+\rho)zc_2 = y - zc_{2} - z\tau \implies (2+\rho)zc_2^* = y - z\tau \tag{13}$$
$$(9), (13):\;\; c_2^{eq.} = c_2^* \implies \frac {(2+\rho)\tau z^2}{1-z} = y - z\tau$$
$$ \implies (1+\rho)\tau z^2 +(y+\tau)z - y = 0$$
Esto tiene una única solución real positiva
$$z^* = -\frac {y+\tau}{2(1+\rho)\tau} + \left[\left(\frac {y+\tau}{2(1+\rho)\tau}\right)^2+\frac {y}{(1+\rho)\tau}\right]^{1/2} $$
Ahora, para este valor de $z$ para que sea factible, no sólo queremos que sea menor que la unidad, sino que también debemos considerar la restricción de no negatividad en el nivel de consumo del primer período.
Queremos $$c_1 > 0 \implies y- \frac {z}{1-z}\tau > 0 \implies z < \frac {y}{y+\tau} <1 $$
Por lo tanto, hay que comprobar si $$-\frac {y+\tau}{2(1+\rho)\tau} + \left[\left(\frac {y+\tau}{2(1+\rho)\tau}\right)^2+\frac {y}{(1+\rho)\tau}\right]^{1/2} < \;? \; \frac {y}{y+\tau}$$
que se mantiene. Así que $z^*$ es factible, y para este único valor la asignación de consumo impuesta será igual a la solución que maximiza la utilidad (al menos para la utilidad logarítmica).
