Cómo aplicar la regla de la cadena para derivadas parciales a las transformaciones?

Question

Actualmente estoy trabajando para resolver el modelo Black-Scholes ecuación diferencial parcial (es un modelo para un.o. opción de compra de acciones de los precios). El Black-Scholes ecuación de una calloption C(S,t) está dada por

$ \frac{∂C}{∂t}+\frac{1}{2} σ^2 S^2 \frac{∂^2 C}{∂S^2}+rS \frac{∂C}{∂S}-rC=0$

S es el precio de las acciones y t es el tiempo de vencimiento.

Yo soy la solución de la ecuación de transformación para la ecuación del calor. Estoy teniendo un poco de problemas con el primer par de transformación. Las transformaciones son:

1. $x=\ln⁡(\frac{S}{K})$ , lo que da $S=Ke^x$
2. $τ=\frac{σ^2}{2} (T-t)$ , lo que da $t=T-\frac{2τ}{σ^2}$

La función se convierte en:

3. $U(x,τ)= \frac{1}{K} C(S,t)=\frac{1}{K} C(Ke^x,T- \frac{2τ}{σ^2})$

Estos transformación aplicado a la ecuación diferencial parcial de arriba da los siguientes resultados para los diferentes términos. He encontrado la siguiente solución en el internet, mi problema es que yo no entiendo muy bien lo que se hace aquí:

$\frac{∂C}{∂t}=K \frac{∂U}{∂τ} \frac{∂τ}{∂t}=\frac{-Kσ^2}{2} \frac{∂U}{∂τ},$

$\frac{∂C}{∂S}=K \frac{∂U}{∂x} \frac{∂x}{∂S}=\frac{K}{S} \frac{∂U}{∂x}=e^{-x} \frac{∂U}{∂x},$

$\frac{∂^2 C}{∂S^2}=\frac{-K}{S^2} \frac{∂U}{\partial x}+\frac{K}{S} \frac{∂}{∂S} (\frac{∂U}{∂x})$ $=\frac{-K}{S^2} \frac{∂U}{∂x}+\frac{K}{S} \frac{∂}{∂x} (\frac{∂U}{∂x}) \frac{∂x}{∂S}$ $=\frac{-K}{S^2} \frac{∂U}{∂x}+\frac{K}{S^2} \frac{∂^2 U}{∂x^2}$ $=\frac{e^{-2x}}{K} (\frac{∂^2 U}{∂x^2} \frac{-∂U}{∂x}$)

Alguien me puede ayudar? Lo agradecería muchísimo!!!!

gracias de antemano

Answer 1

Como usted dice en su comentario, usted sólo tiene problemas con la segunda derivada parcial de w.r.t. el spot. Por lo que entender cómo la primera derivada parcial se obtiene

\begin{equation} \frac{\partial C}{\partial S} = e^{-x} \frac{\partial U}{\partial x}. \end{equation}

A continuación, sólo cuidadosamente aplicar la regla de la cadena otra vez. En TODOS los detalles:

\begin{eqnarray} \frac{\partial^2 C}{\partial S^2} & = & \frac{\partial}{\partial S} \left\{ e^{-x} \frac{\partial U}{\partial x} \right\}\\ & = & \frac{\partial}{\partial x} \left\{ e^{-x} \right\} \frac{\partial U}{\partial S} + e^{-x} \frac{\partial}{\partial x} \left\{ \frac{\partial U}{\partial S} \right\}\\ & = & \frac{\partial}{\partial x} \left\{ e^{-x} \right\} \frac{\partial x}{\partial S} \frac{\partial U}{\partial x} + e^{-x} \frac{\partial^2 U}{\partial x^2} \frac{\partial x}{\partial S}\\ & = & e^{-x} \frac{\partial x}{\partial S} \left( \frac{\partial^2 U}{\partial x^2} - \frac{\partial U}{\partial x} \right)\\ & = & e^{-x} \frac{1}{S} \left( \frac{\partial^2 U}{\partial x^2} - \frac{\partial U}{\partial x} \right)\\ & = & e^{-2 x} \frac{1}{K} \left( \frac{\partial^2 U}{\partial x^2} - \frac{\partial U}{\partial x} \right) \end{eqnarray}