Modelo de Tres Factores de Francés y Fama - ¿Cuál es la fórmula correcta?

Question

Espero que puedas ayudarme con la siguiente pregunta. ¿Cuál es la forma correcta de escribir la fórmula para el Modelo de Tres Factores de French y Fama? Actualmente he encontrado tres versiones de esta fórmula, las cuales son:

La pregunta que tengo, ¿hay diferencias entre estas o son todas iguales? Principalmente me interesa la explicación de la posición del Alfa y la tasa libre de riesgo, también noto que a veces se señala el término de error y a veces no. ¿Es simplemente una cuestión de preferencia o hay implicaciones más profundas en cómo se escribe? ¡Te agradezco cualquier comentario!

Answer 1

Hay problemas con los tres. @noob2 ha señalado la inconsistencia en el primero. Además, no utiliza subíndices. El segundo probablemente es el menos incorrecto. Sin embargo, no hay un índice para el término de error ni una intercepción. El tercero utiliza demasiados índices. Tiene un índice en la intercepción e índices en las pendientes. Es cierto que es posible estimar una versión variable en el tiempo de Fama-French que requeriría índices aquí. Sin embargo, normalmente las personas que estiman modelos Fama-French no están haciendo eso.

Otra queja es que cada uno utiliza $i$ como índice. Típicamente, $i$ se utiliza para índices transversales y $t$ se utiliza para índices de tiempo. No es realmente un problema significativo, pero si comienzas a mezclar modelos de paneles, entonces se vuelve importante.

Así es como lo escribiría: $$r_{t}-r_{t,f}=\alpha+\beta_{mkt}\left(r_{t,mkt}-r_{t,f}\right)+\beta_{SMB}r_{t,SMB}+\beta_{HML}r_{t,HML} + \varepsilon_{t}$$ Me gusta dejar claro que son todos diferentes tipos de retornos. Tengo la tendencia a no trabajar con los retornos en exceso, pero es común en finanzas académicas.

Answer 2

Es solo una notación diferente. Si necesitas factores ya construidos, puedes encontrarlos en la web, por ejemplo en el sitio de French.

Answer 3

He estado pensando mucho en este tema recientemente después de leer el excelente libro de texto de Cochrane. Después de algunas luchas, creo que la clave para entender todo esto es prestar atención a los subíndices, porque son importantes. Aquí está mi opinión sobre tu pregunta.

Usaré la forma de la siguiente manera: $$r^e_{i,t} = \alpha_i+\beta_{i,MKT}(r_{MKT,t}-r_{f,t})+\beta_{i,SMB} r_{SMB,t}+\beta_{i,HML}r_{HML,t}+\epsilon_{i,t}$$

Esta es una regresión de población. Puedes pensar en proyectar el rendimiento en exceso en el espacio de los factores y una constante. Si lees la parte teórica seriamente, verás que así es como definimos los $\beta$s en la forma de rendimiento esperado-beta de cualquier modelo de factor lineal. Para pensar en esta relación, puedes fijar i (o la forma vectorizada $r^e_t=[r^e_1,\cdots,r^e_N]'$), entonces podemos considerar la regresión anterior como una regresión de series temporales.

$$r^e_{t} = \alpha+\beta_{MKT}(r_{MKT,t}-r_{f,t})+\beta_{SMB} r_{SMB,t}+\beta_{HML}r_{HML,t}+\epsilon_{t}$$

Esta es la regresión lineal habitual que ves en cualquier libro de texto. Por construcción, $E[\epsilon_t|factores]=0$.

Lo más interesante es pensar en lo que estamos haciendo cuando miramos la intercepción para ver si el modelo hace un buen trabajo al fijar el precio de nuestro portafolio del lado izquierdo.

En primer lugar, cuando hablas de un modelo de factores, la principal implicación es en realidad en el rendimiento esperado, no en el rendimiento. $$E[r^e_i] = \beta_i \lambda$$. donde $\lambda$ es la prima de riesgo asociada con tu factor. Hay dos cosas a las que debemos prestar atención.

• El subíndice no involucra t, porque estamos tratando con un modelo incondicional en el que pensamos que la realización de rendimientos y betas en cada momento se extrae de una distribución de $r^e_i$ y $\beta_i$ para cada empresa.
• Puede preguntarte dónde está el factor en este modelo. El factor solo entra en el modelo a través de su prima de riesgo. Solo en el caso especial cuando tus factores son rendimientos en exceso, la prima de riesgo $\lambda=E[f]$.

Ahora, con estos conceptos claros, podemos proceder a entender el modelo de Fama French de 3 factores. Entonces, lo que proponen es que los 3 factores son los rendimientos de tres carteras largas y cortas, es decir, MKT, SMB y HML. Dado lo que he hablado anteriormente, el modelo (APT, ICAPM) básicamente dice: $$E[r^e_i] = \beta_{i,MKT}E[r_{MKT}-r_f]+\beta_{i,SMB} E[r_{SMB}]+\beta_{i,HML} E[r_{HML}]$$

Recuerda, estas relaciones se predicen que se mantengan en la población según el modelo. Lo que observamos es solo la realización histórica de estos rendimientos, por lo que necesitamos estimar esta relación.

Finalmente, volvamos a relacionarnos con la regresión de series temporales de Fama French al principio. Al tomar la expectativa incondicional de ambos lados de la primera ecuación y compararla con el modelo teórico anterior, puedes ver que la implicación de que MKT, SMB y HML sean factores que fijan perfectamente el precio de los activos es que $\alpha_i=0$ $\forall i$ conjuntamente. Para probar esto, podemos usar el estadístico de prueba GRS(1989).