Preguntas sobre el VaR y el CVaR. ¿Existe alguna relación entre $VaR_{\alpha}(X)$ y $VaR_{\alpha}(-X)$ o $CVaR_{\alpha}(X)$ y $CVaR_{\alpha}(-X)$ ?

Question

Tengo algunas preguntas sobre el valor en riesgo (VaR) y el valor en riesgo condicional (CVaR).

¿Existe alguna relación entre $VaR_{\alpha}(X)$ y $VaR_{\alpha}(- X)$ o $CVaR_{\alpha}(X)$ y $CVaR_{\alpha}(-X)$ ?

Aquí, $VaR$ y $CVaR$ se definen como:

$$VaR_{\alpha}(X) := \inf \left\{x\in \mathbb{R}| Pr(X >x)\leq \alpha \right\}, \alpha \in [0, 1]$$

$$CVaR_{\alpha}(X) := \frac{1}{\alpha}\int_{0}^{\alpha}VaR_{s}(X)ds$$

Answer 1

Consideramos el caso en que la función de distribución $F$ de $X$ es estrictamente creciente. Entonces \begin {align*} VaR_{ \alpha }(X) &= \inf\ {x: P(X >x) \le \alpha \}\\ &= \inf\ {x: F(x) \ge 1- \alpha \}\\ &=F^{-1}(1- \alpha ). \end {align*} Además, observamos que la función de distribución $G$ de $-X$ se define por \begin {align*} G(x) &= P(-X) \le x) \\ &=1-F(-x), \end {align*} Entonces, \begin {align*} VaR_{ \alpha }(-X) &= G^{-1}(1- \alpha ) \\ &=-F^{-1}( \alpha ) \\ &=-VaR_{1- \alpha }(X). \end {align*} Además, \begin {align*} CVaR_{ \alpha }(-X) &= \frac {1}{ \alpha } \int_0 ^{ \alpha }VaR_s(-X)ds \\ &=- \frac {1}{ \alpha } \int_0 ^{ \alpha }VaR_{1-s}(X)ds \\ &={ \color {rojo}{-}} \frac {1}{ \alpha } \int_ {1- \alpha }^1 VaR_s(X)ds \\ &=- \frac {1}{ \alpha } \left ( \int_0 ^1 VaR_s(X)ds - \int_0 ^{1- \alpha } VaR_s(X)ds \right ) \\ &=- \frac {1}{ \alpha } \int_0 ^1F^{-1}(1-s)ds + \frac {1- \alpha }{ \alpha }CVaR_{1- \alpha }(X) \\ &=- \frac {1}{ \alpha } \int_0 ^1F^{-1}(s)ds + \frac {1- \alpha }{ \alpha }CVaR_{1- \alpha }(X) \\ &=- \frac {1}{ \alpha } \int_ {- \infty }^{ \infty x\, dF(x) + \frac {1- \alpha }{ \alpha }CVaR_{1- \alpha }(X) \\ &=- \frac {1}{ \alpha } E(X) + \frac {1- \alpha }{ \alpha }CVaR_{1- \alpha }(X). \end {align*}