¿Existe una fórmula para el valor futuro de una anualidad creciente con crecimiento de pagos anuales y pagos mensuales?

Question

Mi ejemplo es ahorrar para la universidad:

• asume un comienzo de balance de 0
• depósitos de 200 realizados mensualmente, cada año aumentan en un (g) 2% para tener en cuenta los aumentos de sueldo, primer depósito realizado en el fin del primer mes
• El tipo de interés (r) es constante al 8% (tasa efectiva)
• Va por (n=15) años

¿Cuál es el valor futuro?

Aunque puedo convertir la tasa anual en una tasa mensual compuesta para que coincida con la tasa anual, no puedo utilizar la fórmula del "valor futuro de una anualidad creciente", que supone que el momento del crecimiento y el pago son el mismo.

Es aceptable hacerlo en dos o tres pasos (como usar la ecuación 1 para resolver un nuevo valor de pago para conectarlo a la ecuación 2), sólo estoy tratando de evitar hacer cálculos para cada año como lo estoy haciendo ahora.

n(1) = 2486
n(2) = 5222.23
n(15)= 75693

Actualización
Encontré mi propia respuesta también abajo que combina fórmulas bien conocidas para llegar a la misma respuesta (y presumo que, con la sustitución, sería equivalente a la respuesta aceptada)

Answer 1

Puedes calcularlo con la siguiente fórmula, que se produce a partir de una suma doble.

P. S. Los ejemplos iniciales corresponden a una renta vitalicia vencida (renta vitalicia de tipo ahorro).

Future value = (r*(-1 + r^y)*(-b^(1 + a) + r^((1 + a)*y))*z)/((-1 + r)*(-b + r^y)) 

donde

r = 1 + monthly rate = 1.08^(1/12) = 1.00643
y = months per year = 12
a = years - 1 = 14
b = deposit increase rate + 1 = 1.02
z = initial deposit amount = 200

(r*(-1 + r^y)*(-b^(1 + a) + r^((1 + a)*y))*z)/((-1 + r)*(-b + r^y)) = 76180.4

Se utilizó Mathematica para producir la fórmula de la suma doble:

La suma doble se produce a partir de las elaboraciones siguientes.

Editar

Para ilustrar la robustez de la fórmula, he aquí otro ejemplo con diferentes parámetros de periodo: a dos veces al año depósito de 200 para tres años, incrementándose de nuevo anualmente en un 2%, con un tipo de interés del 8%.

La ejecución del cálculo en cuatro formas produce el mismo resultado. Esto demuestra la solidez de la fórmula.

r = 1 + six-monthly rate = 1.08^(1/2) = 1.03923
y = periods per year = 2
a = years - 1 = 2
b = deposit increase rate + 1 = 1.02
z = initial deposit amount = 200

(r*(-1 + r^y)*(-b^(1 + a) + r^((1 + a)*y))*z)/((-1 + r)*(-b + r^y)) = 1402.25

2ª Edición

Recálculo para la anualidad ordinaria (tipo préstamo), en lugar de la anualidad debida (ahorro). - ref. Cálculo del valor presente y futuro de las rentas vitalicias

((-1 + r^y)*(-b^(1 + a) + r^((1 + a)*y))*z)/((-1 + r)*(-b + r^y)) = 1349.32

Answer 2

Más tarde descubrí que se puede calcular un pago especial y encajarlo en el valor futuro normal de una función de anualidad creciente que se establece en términos de años.

En primer lugar, hay que resolver para obtener la tasa mensual, esto compuesto por 12 nos llevará a r

$monthlyRate=(1+r)^{1/n}-1 = .006434$

A continuación, calcule el pago anual efectivo (básicamente tiene en cuenta las diferentes duraciones de los intereses para cada pago) utilizando el pago mensual en una anualidad ordinaria para un solo año (n=12 meses)

$annualPayment= \frac{pmt}{monthlyRate}((1+monthlyRate)^n-1)=2486.77$

Ahora bien, como el crecimiento y la tasa ya están definidos en términos de un año, podemos utilizar una fórmula estándar de anualidad creciente para períodos anuales:

$futureValue=\frac{annualPayment}{r-g}((1+r)^n-(1+g)^n) = 75693$