Cómo demostrar que $E\left[ \int_0^t \sigma(s) e^{iuX(s)} dW(s)\right] = 0$ ?

Question

Dejemos que $\sigma(t)$ sea una función determinista del tiempo y defina el proceso $X_t$ por $$X(t) = \int_0^t \sigma(s)dW(s)$$ Quiero mostrar $$E\left[ \int_0^t \sigma(s) e^{iuX(s)} dW(s)\right] = 0$$

Es parte del ejercicio 4.3 de Bjork "Teoría del arbitraje en tiempo continuo", y puedes ver la solución aquí:

La solución no lo explica.

Answer 1

Algunos detalles básicos

$\quad$ La integral de Itô puede definirse de forma similar a la integral de Riemann-Stieltjes, es decir, como un límite en probabilidad de las sumas de Riemann; dicho límite no existe necesariamente en sentido de la trayectoria. Supongamos que $W_t$ es un proceso de Wiener y que $\sigma_t$ es un proceso derecho-continuo (cadlag), adaptado y localmente acotado si $I=\{t_0,t_1,\cdots,t_n\}$ es una secuencia de particiones de $[0,t]$ con malla que va a cero, entonces la integral de Itô de $\sigma_t$ con respecto a $W_t$ hasta el momento t es una variable aleatoria $$X_t=\int_{0}^{t}\sigma(s)dW_s=\lim_{n\to\infty}\,\sum_{i=1}^{n}\sigma(t_{i-1})(W(t_i)-W(t_{i-1}))$$ desde $\sigma(s)$ es un proceso determinista y $W({t_i})-W(t_{i-1})\sim\mathcal{N}(0,t_i-t_{i-1})$ Por lo tanto $X_t$ se distribuye normalmente de forma que $$\begin{align*} \mathbb{E}[X_t]&=\mathbb{E}\left[\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}\sigma(t_{i-1})(W_{t_i}-W_{t_{i-1}})\right]\\ &=\lim_{n\to\infty}\mathbb{E}\left[\sum_{i=1}^{n}\sigma(t_{i-1})(W_{t_i}-W_{t_{i-1}})\right]\\ &=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}\mathbb{E}\left[\sigma(t_{i-1})(W_{t_i}-W_{t_{i-1}})\right]\\ &=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}\sigma(t_{i-1})\mathbb{E}\left[W_{t_i}-W_{t_{i-1}}\right]\\ &=0 . \end{align*}$$ Mediante la aplicación de Fórmula de isometría de Ito tenemos $$\text{Var}(X_t)=\text{Var}\left(\int_{0}^{t}\sigma(s)dW_s\right)=\mathbb{E}\left[\left(\int_{0}^{t}\sigma(s)dW_s\right)^2\right]=\mathbb{E}\left[\int_{0}^{t}\sigma^2_sds\right]=\int_{0}^{t}\sigma^2_sds$$

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Prueba

Si $Y(t)$ sea un proceso regular adaptado tal que $\int_{0}^{t}\mathbb{E}\left[ Y^2(s)\right]ds < \infty$ entonces $$\mathbb{E}\left[\int_{0}^{t}Y(s)dW_s\right]=0$$ Establecer $Y(s)=\sigma(s) e^{iuX(s)}$ tenemos $$\int_{0}^{t}\mathbb{E}\left[ Y^2(s)\right]ds=\int_{0}^{t}\mathbb{E}\left[ \sigma^2(s) e^{2iuX(s)}\right]ds=\int_{0}^{t}\sigma^2(s)\mathbb{E} \left[ e^{2iuX(s)}\right]ds\tag 1$$ $X(t)$ se distribuye normalmente con una media cero y una varianza dada por $$\text{Var}(X_s)=\int_{0}^{s}\sigma^2(v)dv$$ así $$\mathbb{E} \left[ e^{2iuX(s)}\right]=\exp\left(2\text{i}\,u\,\mathbb{E}[X_s]-2u^2\text{Var}(X_s)\right)\tag 2$$

Como resultado $$\int_{0}^{t}\mathbb{E}\left[ Y^2(s)\right]ds=\int_{0}^{t}\sigma^2(s)\exp\left(-2u^2\int_{0}^{s}\sigma^2(v)dv\right)ds<\infty$$