Tratar una restricción que es root cuadrada de una forma cuadrática

Question

Estoy tratando de maximizar mi cartera, pero no sé cómo lidiar con la restricción que está en la forma

max $2u^Tx-x^T \Sigma x$

Sujeto a

$e^Tx = 1$

$u^Tx - m (x^T \Sigma x)^{1/2} >= c $

Dónde $\Sigma$ es la matriz de covarianza y psd y $u$ es el rendimiento esperado. $e^T$ es un vector formado por unos (1,...,1). $m$ y $c$ son constantes

No sé cómo tratar root cuadrada. (Estoy usando R)

Salud

Answer 1

$$u^Tx - m (x^T \Sigma x)^{1/2} \geq c$$ es lo mismo que $$u^Tx-c \geq m (x^T \Sigma x)^{1/2} $$

que es lo mismo que $$(u^Tx-c)^2 \geq m (x^T \Sigma x)$$

Esto no tiene raíces cuadradas.

Answer 2

Al principio pensé en eso pero me confundí en cómo reformularlo.

$(u^T x)^2 + 2 c u^Tx - c^2$

pero es lo mismo que

$x^T (u \times u^T) x + 2 c u^Tx - c^2$

y ahora es solucionable. Estoy usando gurobi y por eso necesita las restricciones de la forma

$x^T Q x + u^Tx >= c$