Problema con derivados de la dinámica de un proceso de

Question

Estoy tratando de resolver el siguiente problema. Dado un proceso de $X_t$ y un proceso de $Z_t$, con la dinámica de $X_t$ como

$$ dX_t = (\alpha + \beta X_t)dt + (\gamma + \sigma X_t)dW_t $$

y $Z_t$ se define como

$$Z_t = \exp(\sigma W_t + (\beta-\frac{1}{2} \sigma^2)t)$$

donde $W_t$ es un movimiento browniano estándar, $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ y $\sigma$ constantes en $R$, tengo que encontrar la dinámica del proceso $X_t / Z_t$.

Ahora, he intentado lo siguiente.

1) tratar el proceso de $X_t / Z_t$ como una función de la $X_t$ e $t$, y se derivan de la dinámica de la $d(X_t/Z_t)$ utilizando la fórmula de Itô. La solución que llegar es un poco complicado, y después he derivados de la dinámica de $X_t / Z_t$ también tengo que encontrar una solución explícita de la ecuación diferencial estocástica, que es $d(X_t / Z_T)$ donde $X(0)=0$ (supongo que en ese caso, $Z(0) = 1$ tal que $X(0)/Z(0) = 0$ está bien definido). Basado en mi resultado, no creo que este es el camino a seguir desde que se derivan de una explícita formular después parece muy complicado.

2) he tratado de derivar una solución para $X_t$ utilizando el "movimiento browniano geométrico truco" de dividir ambos lados de la ecuación por $dX_t$ por $X_t$, integrando en ambos lados, reconociendo que la solución "se parece a" $ln X_t$ y luego se mueve hacia adelante, pero no me terminan con algo remotamente agradable (probablemente a partir de $X(t)$ no es un movimiento browniano geométrico).

3) $Z(t)$ es claramente un movimiento browniano geométrico. Me he estado preguntando si esa es la clave para resolver el problema.

¿Alguien puede dar algún consejo o trucos que me podría ayudar en la solución de este problema? Gracias por su tiempo.

Answer 1

Uso la versión en 2D de Ito de $d (\frac{X}{Z})$.

Ito en 2 variables de da $d f(X,Z) = f_x dX + f_z dZ + 0.5*(f_{xx} dX^2 + f_{zz} dZ^2 + 2 f_{xz} dX dZ)$.

en su caso $f(x,z) = \frac{X}{Z}$. Usted sabe lo $dX$ es, por lo tanto sólo enchufe. Tienes lo que Z es. Para encontrar $dZ$ aplicar Ito en Z y "ito diferenciar". Enchufe en dZ esto le da la dinámica de re buscando.

Answer 2

Este es básicamente el factor integral de la técnica para encontrar la solución de $X_t$; ver también esta pregunta. Tenga en cuenta que $$d\left(\frac{1}{Z_t}\right) = \frac{1}{Z_t}\left[(\sigma^2-\beta) dt - \sigma dW_t\right].$$ A continuación, \begin{align*} d\left(\frac{X_t}{Z_t}\right) &= X_t d\left(\frac{1}{Z_t}\right) +\frac{1}{Z_t} dX_t + d\Big\langle X, \, \frac{1}{Z}\Big\rangle_t\\ &=\frac{X_t}{Z_t}\Big[(\sigma^2-\beta) dt - \sigma dW_t\Big]\\ &\quad +\frac{1}{Z_t}\Big[(\alpha + \beta X_t)dt + (\gamma + \sigma X_t) dW_t \Big]-\sigma^2\frac{X_t}{Z_t}dt\\ &=\frac{1}{Z_t}(\alpha\, dt + \gamma\, dW_t). \end{align*} Por lo tanto, \begin{align*} \frac{X_t}{Z_t} = \alpha \int_0^t \frac{1}{Z_s} ds +\gamma\int_0^t \frac{1}{Z_s} dW_s. \end{align*} Es decir, \begin{align*} X_t &= Z_t\left[ \alpha \int_0^t \frac{1}{Z_s} ds +\gamma\int_0^t \frac{1}{Z_s} dW_s\right] \\ &= \alpha\int_0^t e^{-\big(\frac{1}{2}\sigma^2 -\beta\big)(t-s) +\sigma(W_t-W_s)}ds +\gamma \int_0^t e^{-\big(\frac{1}{2}\sigma^2 -\beta\big)(t-s) +\sigma(W_t-W_s)}dW_s. \end{align*}