Movimiento Browniano e Integración Estocástica

Question

Tengo dos preguntas relacionadas con la integración estocástica que tal vez podrían responderse juntas.

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Primera pregunta:

En primer lugar, realmente no entiendo por qué no podemos usar la integración de Riemann-Stieltjes cuando una marcha Browniana es el integrador (tiene algo que ver con su variación infinita pero no veo cómo afecta al integral).

Segunda pregunta:

Para la segunda pregunta (creo que es el caso más general), primero necesitamos definir los siguientes espacios

$$ \begin{align} M_{0, loc}^{c} &:= \text{Espacio de todas las martingalas locales continuas } (M_{t})_{t \in [0, T]} \text{ con } M_{0} = 0 \\ FV_{0}^{c} &:= \text{Espacio de todos los procesos estocásticos adaptados } (A_{t})_{t \in [0, T]} \text{ con } A_{0} = 0 \\& \hspace{0.6cm} \text{ y caminos de muestra continuos de variación finita} \end{align} $$

Ahora, tengo el siguiente lema:

Toda martingala local continua $(M_{t})_{t \in [0, T]}$ con trayectorias de variación finita es constante. En particular, se tiene $M_{0, loc}^{c} \cap FV_{0}^{c} = \{0 \}.$

Este lema supuestamente es responsable de que no podamos construir las integrales con respecto a las martingalas basadas en la integración clásica de Riemann-Stieltjes. Tampoco veo por qué es el caso.

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Espero que entiendas mis preguntas y puedas responderlas.

Saludos cordiales,

Peter

Answer 1

Tomemos un movimiento Browniano estándar $(B_t)$ y tratemos de calcular $\int_0^t B_s\mathrm{d}B_s$ en el sentido de Riemann-Stieltjes.

Sea $0=t_0 una partición y sean $y_i=t_{i-1}$ o $y=t_i$ para $i=1,...,n$ dos particiones intermedias. Así, \begin{align*} S^1_n(t) &= \sum_{i=1}^n B_{t_{i-1}}(B_{t_i}-B_{t_{i-1}}), \\ S^2_n(t) &= \sum_{i=1}^n B_{t_{i}}(B_{t_i}-B_{t_{i-1}}), \end{align*} son sumas de Riemann-Stieltjes.

Si el integral de Riemann-Stieltjes existe, $S_n^1(t)-S_n^2(t)\to0$ cuando $\max\limits_{i=1,...,n}\{t_i-t_{i-1}\}\to0$. Sin embargo, \begin{align*} S^2_n(t)- S^1_n(t)&= \sum_{i=1}^n (B_{t_i}-B_{t_{i-1}})^2 >0 \end{align*} y \begin{align*} \mathbb{E}[S^2_n(t)- S^1_n(t)]&= \sum_{i=1}^n (t_i-t_{i-1})=t \neq 0. \end{align*} Por lo tanto, el integral de Riemann-Stieltjes no existe para un movimiento Browniano como integrador.

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En general, el integral de Riemann-Stieltjes $\int_0^t f(s)\mathrm{d}g(s)$ existe si $f$ es piecewise continuous y $g$ tiene variación finita.* Sin embargo, como dijiste, las trayectorias de muestra del movimiento Browniano tienen variación infinita (aunque variación cuadrática finita). Tu lema afirma que cada martingala local continua no trivial tiene variación infinita también. Por lo tanto, tenemos que usar una nueva noción de integral, la integral de Itô. De hecho, $\int_0^t B_s\mathrm{d}B_s=\frac{1}{2}(B_t^2-t)$ en el sentido de Itô.

*Para probar esto, tomamos una partición $0=t_0 y elegimos $y_i^-$ tal que $$f(y^-_i) = \begin{cases} \inf\limits_{t_{i-1}\leq y\leq t_i} f(y) &\mathrm{si}\; g(t_i)-g(t_{i-1})\geq0, \\ \sup\limits_{t_{i-1}\leq y\leq t_i} f(y) &\mathrm{si}\; g(t_i)-g(t_{i-1})<0, \end{cases} $$ y elegimos $y_i^+$ tal que $$f(y^+_i) = \begin{cases} \sup\limits_{t_{i-1}\leq y\leq t_i} f(y) &\mathrm{si}\; g(t_i)-g(t_{i-1})\geq0, \\ \inf\limits_{t_{i-1}\leq y\leq t_i} f(y) &\mathrm{si}\; g(t_i)-g(t_{i-1})<0, \end{cases}.$$ Sea \begin{align*} S^+_n(t) &= \sum_{i=1}^n f(y_i^+)(g(t_i)-g(t_{i-1})), \\ S^-_n(t) &= \sum_{i=1}^n f(y_i^-)(g(t_i)-g(t_{i-1})). \end{align*} Entonces, el integral de Riemann-Stieltjes existe si $S^+_n(t)-S^-_n(t)\to0$ cuando $n\to\infty$.

Sin embargo, si $\max\limits_{i=1,...,n} \{t_i-t_{i-1}\}\leq \delta$ para algún $\delta>0$, entonces \begin{align*} S^+_n(t)-S^-_n(t) &\leq \sum_{i=1}^n |f(y_i^+)-f(y_i^-)||g(t_i)-g(t_{i-1})| \\ &\leq \sup\{|f(y)-f(y')| : y\geq0; y'\leq t,\;|y-y'|<\delta\} \sum_{i=1}^n |g(t_i)-g(t_{i-1})| \\ &\to 0, \end{align*} si $f$ es continua (el primer término tiende a cero) y $g$ tiene variación finita (la suma no explota). Esto, por supuesto, también funciona si $f$ es piecewise continuous, simplemente necesitamos dividir el dominio de la integral.

¡Esta es la razón por la que necesitamos variación finita para $g$! De lo contrario, el integral de Riemann-Stieltjes simplemente no está bien definido.