Estoy muy oxidado en cálculo estocástico, y estoy teniendo problemas con la integración de la siguiente término simple a partir de una curva de rendimiento modelo:
$$z(t)=\int_0^t\exp(-k(t-s))dW(s)$$
Cualquier sugerencia apreciado.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Es una Wiener integral como tu integrando es una función determinista de tiempo.
Se sabe que la integral de Wiener es estacionarios gaussianos proceso con incrementos independientes. Por lo $z(t) \sim \mathcal N\left(0, \int_0^te^{-2k(t-s) }~ds\right)$ e $(z(t)-z(s)) \amalg z(u), \ \forall u,s,t \in \mathbb R_+ \text{ such that }u\leq s, s\leq t $ o, alternativamente, usted puede decir que $(z(t)-z(s)) \amalg \mathcal F_s^z, \ \forall s, t \in \mathbb R _+ \text{ with } t\geq s $ donde $\mathcal F_u^z$ es la filtración natural de $z$.
Formalmente tiene que $z(t) \overset{\mathcal L}{=} \int_0^t e^{-2k(t-s)}~ds \frac{1}{\sqrt{t}} W_t$
Supongo que usted necesite usar en una simulación, por lo que sólo puede multiplie una variable aleatoria normal por la desviación estándar $\sqrt {\int_0^te^{-2k(t-s) }~ds}$ y usted sabe que $\int_0^te^{-2k(t-s) }~ds= \frac{1}{2}e^{-2kt}(1-e^{-2kt}) $ (si no he hecho errores).
En realidad formal hablando, usted debe asegurarse de que usted integrando $f$ (en tu ejemplo $f(s) =e^{-k(t-s)}$ satisface "buenas" condiciones de integrabilidad. Eso significa que $f \in L^2 ( \mathbb R _+,dt)$ (es el caso de tu ejemplo),donde $dt$ es la medida de Lebesgue .
En términos generales, un proceso de $I$ definido $I(t) := \int_0^t f(s) ~ds$ tiene las propiedades mencionadas anteriormente, y particularmente $I(t)\sim \mathcal N\left(0, \int_0^tf^s(s)~ds\right)$
Espero que los haya ayudado.
