La estimación de las ganancias realizadas dada la tasa de crecimiento y el churn

Question

Si se puede estimar que el valor de una cartera de inversión crecerá a $g$% por año, y se puede estimar que aproximadamente el $c$% de la cartera se agitaba cada año (se vende y reinvertidos), ¿cómo puede la espera de la ganancia que se llevarían a cabo cada año en que el churn se calcula?

Obviamente, incluso si toda la inversión en la cartera fueron creciendo en exactamente $g$% cada año, la ganancia real que se dio cuenta en cualquier año dado, dependerá exactamente de qué $c$% de la cartera de liquidación (y, en particular, por cuánto tiempo ha sido celebrado o creciente).

Hay una diferencia estadísticamente sonido manera de abordar este problema, o más supuestos necesarios? Serviría para añadir (o tal vez incluso reemplazar el churn de asunción con) el supuesto de que las inversiones son, en promedio, se espera que se celebre para $y$ años, quizás con alguna desviación estándar $\sigma$?

Answer 1

Supongamos que empezamos a $t=0$ con $P_0$hay $t=1...N$ períodos posteriores, y en cada fin de período $t$ un (totalmente arbitraria) de la porción $c$ de nuestra cartera $P_t$ se bate y $(1-c)$ se mantiene intacta. $P$ crece más cada período por un factor de $(1+g)$: $P_t = P_{t-1}(1+g)$.

Podemos partición $P_t$ en sub-carteras, cada una con su propia churn de la historia, como en:

$P_1 = P_0(1+g) \equiv P_0(1+g)(c+(1-c))$ $P_2=P_1(1+g)\equiv P_0(1+g)^2(c(1-c)+(1-c)^2+c^2+(1-c)c)$

En el período de $t=N$, tendremos $2^N$ dicho sub-carteras juntos formando $P_N$, cada uno representando una historia particular de churn/no-revolver $t=1...N$.

$P_N \equiv P_0(1+g)^N((1-c)^N+(1-c)^{N-1}c+(1-c)^{N-2}c^2+\cdots+c^N)$

Ahora vamos a ponernos a fin de período $T=N+1$ y vamos a considerar el tercer término:

1. $c^N$ es la porción de $P$ que ha sido batido en cada período precedente. Este particular sub-cartera ha sido de 1 período sólo en esta etapa (desde la última vez que se agitaba en $t=N$), con un crecimiento acumulado $g$.
2. Del mismo modo $(1-c)^N$ es la porción que nunca ha sido batido, y ha sido celebrada por los N+1 puntos, con un crecimiento acumulado $(1+g)^{N+1}-1$.
3. Finalmente, hay mucho más en el medio "churn historias" de los pocos $(1-c)^{N-k}c^k$ he escrito aquí. Por ejemplo, un gran número de sub-carteras han sido batidas $k$ veces, algunas en el primer $k$ periodos, algunos en los $k$ periodos, y muchos más a través de cualquier $k$ periodos. Hay, de hecho, $\binom{N}{k}$ dicho sub-carteras, para cada una de las $k=0...N$ (esto cubre $c^N$ e $(1-c)^N$ anterior).

Vamos, entonces, a reescribir $P_N \equiv P_0(1+g)^N(\sum_{k=0}^{N}\binom{N}{k}c^k(1-c)^{N-k})$.

Veamos $\binom{N}{k}c^k(1-c)^{N-k}$, todos los sub-carteras que se han batido $k$ veces: es evidente que algunos se han pasado batió a $t=N$ y 1 período dado, y algunos han sido batido antes de eso, pero los primeros sub-cartera podría haber sido la última batida es $t=k$. Si llamamos a $N-h$ el último churn fecha de un sub-cartera de revolvía $k$ veces, luego de lo $h\in[0,N-k]$.

Ahora podemos reorganizar estos sub-carteras $h$: hay $\binom{N-h-1}{k-1}$ sub-carteras revolvía $k$ times cuya última churn fecha es $t=N-h$, y desde $h\in[0,N-k]$, podemos reescribir:

$\binom{N}{k}\equiv \sum_{h=0}^{N-k}\binom{N-h-1}{k-1}$

De la que sigue

$P_N \equiv P_0(1+g)^N(\sum_{k=1}^{N}\sum_{h=0}^{N-k}\binom{N-h-1}{k-1}c^k(1-c)^{N-k}+(1-c)^N)$

El último plazo para que la parte que nunca se agitaba, y ahora podemos reorganizar la suma para mostrar

$P_N \equiv P_0(1+g)^N(\sum_{h=0}^{N-1}\sum_{k=1}^{N-h}\binom{N-h-1}{k-1}c^k(1-c)^{N-k}+(1-c)^N)$

Y así hay una fracción $\sum_{k=1}^{N-h}\binom{N-h-1}{k-1}c^k(1-c)^{N-k}$ de la cartera de la que fue la última batida en $t=N-h$, y tiene un período de tenencia de $h+1$ como se ve desde $T=N+1$ , con un crecimiento acumulado $G_h=(1+g)^{h+1}-1$ (este es su ganancia de capital).

También hay una fracción $(1-c)^N$ que ha sido realizado por $T+1$ periodos, y nunca se agitaba.

Y tenemos $\mathbb{E}(C_{N+1})=\sum_{h=0}^{N-1}G_h\sum_{k=1}^{N-h}\binom{N-h-1}{k-1}c^k(1-c)^{N-k}+G_N(1-c)^N$.

$\mathbb{E}(C_{N+1})$ es la previsión de la ganancia de capital de cualquier muestra aleatoria de parte de nuestra cartera en $T=N+1$ y, en particular, de la porción $c$ nos churn en esa fecha.

Ahora, para algunos ejemplos numéricos:

• $N=10, g=3\%, c=0\%, \mathbb{E}(C_{N+1})= 38.42\% = (1+3\%)^{11}$
• $N=10, g=3\%, c=100\%, \mathbb{E}(C_{N+1})=3\%$
• $N=10, g=3\%, c=10\%, \mathbb{E}(C_{N+1})=23.24\%$

Answer 2

Sí, hay maneras de abordar este problema. Y, dependiendo del nivel de realismo que se requiere y sus metas, usted tendrá que pensar mucho más, para idear un aceptable estrategia.

A vista de pájaro

Primero vamos a hacer la suposición de que cada uno de los activos, de hecho, tiene exactamente el mismo crecimiento, cada período. Incluso en este caso más simple que usted puede seguir diferentes estrategias para la realización de lucro. Dos posibles (extrema) estrategias de

1. Siempre se venden a los "jóvenes" de los activos de primera
2. Siempre vender el "antiguo" de los activos de la primera.

Estrategia 1), dará lugar a principios de la baja tributación de las ganancias, mientras que la estrategia 2), dará lugar a los altos impuestos temprano. Pero tenga en cuenta que en la estrategia 1) tu no gravados, sin embargo, los resultados devengados aumentará mucho más que para la estrategia 2). Y a menos que desee ejecutar su fondo por toda la eternidad empujando más y más las ganancias no realizadas, todas sus acumulados ganancias tienen que ser realizados en un cierto punto en el tiempo. Esto significa que, independientemente de la estrategia, se dedicará principalmente a la forma de la aparición de los impuestos a lo largo del tiempo.Que dijo, esto puede hacer una gran diferencia con tasas impositivas progresivas y no-cero el valor tiempo del dinero. Para decidir, incluso entre aquellos dos estrategias simples, ambos elementos (tasa de descuento y categorías de impuestos) deben ser incorporados en el modelo.

Detalles sobre las dos estrategias

No es difícil desarrollar el pago de impuestos para las dos estrategias anteriores, cuando se asume que empezar de nuevo, es decir, todos los activos de la cartera se han cero de edad. En los jóvenes-activos-primera estrategia, vender exactamente el mismo $c$ por ciento de los activos de cada período. Esto significa que te das cuenta de cada período de exactamente $c g$ , mientras que el resto $(1 - c)$ de la cartera continuará devengándose felices hasta el día del juicio final.

Sólo un poco más complicado es el caso de la vieja-activos-en primer lugar. Supongamos por simplicidad que $c=0.1$. A continuación, se va a vender durante los primeros diez períodos activos de la edad de $1, 2, \ldots, 10$ periodos hasta que todos los activos son vendidos inicialmente en su cartera. A partir de entonces sólo se venden los activos de la edad de $10$ con un acuerdo de ganancia imponible.

Entre estos dos extremos enfoques se encuentra la estrategia al azar, en la que escoja $c$ por ciento de los activos al azar. Para cada uno de los activos, esto significa que se vende en cualquier periodo, con una probabilidad de $c$. Con Excel se puede calcular la probabilidad ponderada en el tiempo de los activos de una cohorte permanecer en su cartera. (Suponiendo que el 10% de nuevo, es de 1 período para el 10% de los activos vendidos en el primer período, que es de 2 para la 9% = 10% * (1 - 10%) los activos vendidos en el segundo período y así sucesivamente.) Con este cálculo se puede comprobar que la expectativa del tiempo de supervivencia y, por tanto, la edad promedio de un activo, cuando el azar se vende es $\frac{1}{c}$. Este es exactamente el mismo tiempo que para el viejo-activos-primera estrategia, una vez que se alcanza el estado estacionario después de la inicial de todos los activos son vendidos.

No constantes ganancias

La verdadera diversión y sala de optimización comienza, por supuesto, sólo cuando salga de hipótesis poco realistas, como constante de las ganancias. Si sus ganancias son volátiles, las posibilidades son infinitas, ya que se puede, a continuación, las ganancias netas de pérdidas y de hacer todo tipo de cosas. Por supuesto, es necesario especificar el regreso (y las de todos los demás supuestos en detalle. Tales estrategias pueden entonces ser modelado y optimización por simulación Monte-Carlo.