Gibbons, Ross, Shanken Derivación de la prueba por MLE

Question

Estoy tratando de derivar la expresión para la prueba GRS del CAPM. Estoy siguiendo el libro La econometría de los mercados financieros por Campbell, Lo, McKinley (1997).

Defina $Z_t$ como $N×1$ vector de exceso de rentabilidad para N activos. Suponemos que los rendimientos excesivos pueden describirse mediante el siguiente modelo de mercado de rendimientos excesivos:

$$Z_t = \alpha + \beta Z_{mt} + \epsilon_t$$ Suponemos que los excesos de rentabilidad son conjuntamente normales, con: $$E[\epsilon_t]=0 $$ Vector N×1 $$E[\epsilon_t \epsilon_t']=\Sigma$$

En consecuencia, dado que el exceso de rentabilidad se distribuye normalmente condicionado al exceso de rentabilidad del mercado y asumiendo que son temporalmente IID, dadas T observaciones, obtenemos la siguiente función log-verosimilitud:

$$L(\alpha,\beta,\Sigma)=-NTlog(2\pi)-T/2log(det(\Sigma))-1/2 \sum_{t=1}^{T} (Z_t-\alpha-\beta Z_{mt})'\Sigma^{-1}(Z_t-\alpha-\beta Z_{mt})$$

La primera derivada parcial respecto a alfa es: (1) $$\partial L/\partial \alpha=\Sigma^{-1}\sum_{t=1}^{T}(Z_t-\alpha-\beta Z_{mt}) $$

De lo cual, fijándolo igual a 0, obtenemos el MLE de alfa:

$$\hat{\alpha}=\hat{\mu}-\hat{\beta}\hat{\mu_{m}}$$

Dónde $\hat{\mu}=1/T\sum_{t=1}^{T} Z_t$ y $\hat{\mu_m}=1/T\sum_{t=1}^{T} Z_{mt}$

Los autores afirman que la varianza del estimador MLE de alfa es $$Var[\hat{\alpha}]=1/T[1+\hat{\mu_m}^2/\hat{\sigma_m}^2]\Sigma$$ Dónde $\hat{\sigma_m}^2=1/T\sum_{t=1}^{T} (Z_{mt}-\hat{\mu_m})^2 $

De modo que la prueba GRS es simplemente el estadístico de Wald:

$$J= \hat{\alpha}'[var[\hat{\mu}]]^{-1}\hat{\alpha}=T[1+\hat{\mu_m}^2/\hat{\sigma_m}^2]^{-1}\hat{\alpha}'\Sigma^{-1}\hat{\alpha}$$

De la hipótesis nula de que las alfas son conjuntamente cero.

Sé que la varianza de las estimaciones puede obtenerse utilizando la inversa de la matriz de información de Fisher. Sin embargo, si calculo la derivada de (1), es decir, la segunda derivada de la LogLik con respecto a alfa, cambio de signo y luego tomo su expectativa, no puedo obtener la expresión de la varianza que afirman los autores. ¿Pueden ayudarme con este último paso, por favor?

Answer 1

Hola: Esta es una respuesta incompleta pero necesitaba espacio. El estadístico de Wald para probar una restricción lineal , $Rb = r$ es ,

$(Rb - r )^{\prime}[R(X^{\prime}X)^{-1} R^{\prime}]^{-1}(Rb - r)/s^2$

$X^{\prime}X$ se puede obtener de P4 y, en su caso, $R = 1$ y $b = \alpha$ . Pero sigo sin ver cómo la expresión para $(X^\prime X)^{-1}$ resultados en lo que has escrito. Espero que alguien más pueda ayudar aquí porque yo no lo veo. Ten en cuenta que $\Sigma$ es sólo un factor de escala, así que no te preocupes por eso.