Supongamos que:
dS=μSdt+σSdWdS=μSdt+σSdW
Q(t,S)Q(t,S) es la probabilidad de que SS golpear la barrera B(St<B)B(St<B) antes T,T, entonces QQ satisface los siguientes PDE
Qt+12σ2S2SSQ+μSQS=0.Qt+12σ2S2SSQ+μSQS=0.
Podría yo demostrar que de esta manera
Proof:
Q(t,S)=P(τB≤T)
aquí τB es el first passage time
en el nivel B.
A continuación, utilice el reflection principle
para un proceso de Wiener:
Tenemos
P(τB≤T)=2P(ST>B)=2∫∞Bp(t,S,T,y)dy
Aquí p(t,S,T,y) es el transition function
de ST
De Kolmogorov backward equation
sabemos
pt+12σ2S2pSS+μSpS=0.
luego tomar los derivados en la integral, hemos hecho.
No estoy seguro es que todo el proceso correcto? Y no hay ningún método estándar para calcular el tal PDE de probabilidad, ya que la probabilidad de incumplimiento también cumplen este pde