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El PDE de la probabilidad de golpear la barrera antes de que T

Supongamos que: dS=μSdt+σSdWdS=μSdt+σSdW Q(t,S)Q(t,S) es la probabilidad de que SS golpear la barrera B(St<B)B(St<B) antes T,T, entonces QQ satisface los siguientes PDE Qt+12σ2S2SSQ+μSQS=0.Qt+12σ2S2SSQ+μSQS=0. Podría yo demostrar que de esta manera

Proof: Q(t,S)=P(τBT) aquí τB es el first passage time en el nivel B.

A continuación, utilice el reflection principle para un proceso de Wiener:

Tenemos P(τBT)=2P(ST>B)=2Bp(t,S,T,y)dy Aquí p(t,S,T,y) es el transition function de ST

De Kolmogorov backward equation sabemos pt+12σ2S2pSS+μSpS=0. luego tomar los derivados en la integral, hemos hecho.

No estoy seguro es que todo el proceso correcto? Y no hay ningún método estándar para calcular el tal PDE de probabilidad, ya que la probabilidad de incumplimiento también cumplen este pde

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otto.poellath Puntos 1594

Puede ser que me haya pasado por alto algo, pero creo que Q(t,S)=P(τBTFt). A continuación, {Q(t,S),0<t<T} es una martingala, y el PDE, que sigue de inmediato, señalando que dQ=Qtdt+QSdS+12QSSdS,St=(Qt+μSQS+12σ2QSSS2=0)dt+σSQSdWt.

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mfraser Puntos 71

La reflexión principal ? Principio de reflejo.

Para la Browniano proceso, no el GBM. [Reflexión principio es bastante específica para simétrica paseo aleatorio].

Por casualidad, si μσ22=0 e σ>0, entonces usted tiene : P(τSB<T)=P(τW1σln(B)<T) y se puede aplicar el principio de reflejo.

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