El PDE de la probabilidad de golpear la barrera antes de que T

Question

Supongamos que: $$d S=\mu S dt+\sigma Sd W$$ $Q(t,S)$ es la probabilidad de que $S$ golpear la barrera $B(S_t<B)$ antes $T,$ entonces $Q$ satisface los siguientes PDE $$Q_t+\dfrac{1}{2}\sigma^2S^2_{SS}Q+\mu S Q_S=0.$$ Podría yo demostrar que de esta manera

Proof: $$Q(t,S)=\mathbb{P}(\tau_B\leq T)$$ aquí $\tau_B$ es el first passage time en el nivel $B$.

A continuación, utilice el reflection principle para un proceso de Wiener:

Tenemos $$\mathbb{P}(\tau_B\leq T)=2\mathbb{P}(S_T>B)=2\int^{\infty}_Bp(t,S,T,y)d y$$ Aquí $p(t,S,T,y)$ es el transition function de $S_T$

De Kolmogorov backward equation sabemos $$p_t+\dfrac{1}{2}\sigma^2S^2p_{SS}+\mu S p_S=0.$$ luego tomar los derivados en la integral, hemos hecho.

No estoy seguro es que todo el proceso correcto? Y no hay ningún método estándar para calcular el tal PDE de probabilidad, ya que la probabilidad de incumplimiento también cumplen este pde

Answer 1

Puede ser que me haya pasado por alto algo, pero creo que $$\begin{align*} Q(t, S) = \mathbb{P}\left(\tau_{B} \le T \mid \mathcal{F}_t\right). \end{align*}$$ A continuación, $\{Q(t, S), \, 0<t < T\}$ es una martingala, y el PDE, que sigue de inmediato, señalando que $$\begin{align*} dQ &= Q_t dt + Q_S dS + \frac{1}{2}Q_{SS} d\langle S, S\rangle_t\\ &=\Big(\underbrace{Q_t + \mu S Q_S + \frac{1}{2}\sigma^2Q_{SS} S^2}_{=0}\Big)dt + \sigma S Q_S dW_t. \end{align*}$$

Answer 2

La reflexión principal ? Principio de reflejo.

Para la Browniano proceso, no el GBM. [Reflexión principio es bastante específica para simétrica paseo aleatorio].

Por casualidad, si $\mu-\frac{\sigma^2}{2}=0$ e $\sigma>0$, entonces usted tiene : $$\mathbb{P}(\tau^S_B<T)=\mathbb{P}(\tau^W_{\frac{1}{\sigma}\ln(B)}<T)$$ y se puede aplicar el principio de reflejo.