¿Cómo derivar la función de coste cúbica de un problema de optimización restringida?

Question

La función de coste total cúbico suele adoptar la forma

$TC(q)=a+bq+cq^{2}+dq^{3} \qquad a,b,d>0, c<0$ y $c^{2}<4bd$

Sé que a partir de un problema de maximización de restricciones

$min\quad wL+vK$

con sujeción a

$q_{0}=f(k,l)$

puedo expresarlo con la función lagrangeana

$\mathcal{L}=wl+vk+\lambda(q_{0}-f(k,l))$

con algo de álgebra para el caso de una función de producción Cobb-Douglas $q_{0}=k^{\alpha}l^{\beta}$ puedo alcanzar

$TC=q^{\frac{1}{\alpha+\beta}}w^{\frac{\beta}{\alpha+\beta}}v^{\frac{\alpha}{\alpha+\beta}}\left(\frac{\alpha+\beta}{\alpha^{\frac{\alpha}{\alpha+\beta}}\beta^{\frac{\beta}{\alpha+\beta}}}\right)$

Podría dar valores a $\alpha$ y $\beta$ para obtener una función cúbica, pero no la que he descrito en el preámbulo. También podría fijar algún otro factor, como el tamaño de la fábrica, pero no funcionaría.

¿Alguna idea?

Gracias de antemano

Answer 1

Una nota sobre las restricciones de los parámetros: $$TC(q)=a+bq+cq^{2}+dq^{3} = a + q(b+cq+dq^{2})$$ Parece que lo que queremos es que el polinomio de segundo grado no tome valores negativos. Para ello sería necesario que no tuviera raíces reales y positivas. Como $c<0$ , entonces si hay raíces reales una de ellas será positiva. Esto implicaría que para un intervalo de valores positivos de $q$ el polinomio de 2º grado tomará valores negativos, y el coste marginal se volverá negativo. Por tanto, necesitamos que el discriminante sea negativo, y así $c^2 - 4bd < 0 \implies c^2 < 4bd$ . No veo por qué escriben " $3$ " en lugar de " $4$ ".

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En cuanto a la obtención de dicha función de costes de forma rigurosa a partir de una función de producción:
La referencia es Silberberg. E (1990), "The Structure of Economics" (2ª ed) , cap. 9.

A) Cuando la función de producción es homogénea de grado $r$ entonces la función de coste tiene la forma

$$C(q,\mathbb w) = q^{1/r} \cdot h(\mathbb w)$$

donde $h(\mathbb w)$ es una función de los precios (de los factores de entrada), y es homogénea de grado uno (o "linealmente homogénea").

B) Cuando la función de producción es homotética que puede representarse como una función monótona de una función homogénea de grado uno, entonces la función de coste sigue siendo separable multiplicativamente en la producción y los precios para alguna función $J(q)$ :

$$C(q,\mathbb w) = J(q)\cdot h(\mathbb w)$$

Pero de nuevo, ya que la homotecia es una transformación monótona de la homogeneidad de grado uno, $J(q)$ no debe esperarse que tome ninguna forma polinómica como la que busca.

Por lo tanto, ninguna de las especificaciones funcionales habituales para las funciones de producción dará una función de costes como la que usted quiere obtener. Y, de hecho, en los documentos con tales funciones de coste nunca he visto una derivación de la función de producción subyacente.

Si surge algún resultado positivo, volveré.

Answer 2

Dada una función de producción Cobb-Douglas su función de costes será cúbica exactamente si $\alpha + \beta = \frac{1}{3}$ y en este caso tendrá $a = b = c = 0$ . Esto no tiene vuelta de hoja. Si quieres tener el tipo de función de costes que describes tendrás que alterar ligeramente tu función Cobb-Douglas, por ejemplo $$ f(k,l) = (k-1)^{\alpha} \cdot (l-2)^{\frac{1}{3} - \alpha}. $$