Variable Deriva De Ornstein–Uhlenbeck

Question

El Ornstein–Uhlenbeck se define como el proceso estocástico que resuelve los siguientes SDE:

$dx_t = \theta (\mu-x_t)\,dt + \sigma\, dW_t$

donde $\theta>0$, $\mu$ y $\sigma>0$ son parámetros y $W_t$ es el movimiento Browniano. Es bien sabido que la solución a esta ecuación. En particular, se sabe que

$E(x_t)=x_0 e^{-\theta t}+\mu(1-e^{-\theta t})$

y

$\operatorname{cov}(x_s,x_t) = \frac{\sigma^2}{2\theta}\left( e^{-\theta(t-s)} - e^{-\theta(t+s)} \right).$

Puede verse fácilmente que el $\lim_{t\to+\infty}E(x_t)=\mu$ y $\lim_{t\to+\infty}Var(x_t)=\frac{\sigma^2}{2\theta}$. Suponga que $f(t)$ es un bien comportado de la función. Lo que se sabe sobre el proceso de

$dx_t = \theta (f(t)-x_t)\,dt + \sigma\, dW_t$?

Hay una forma cerrada de expresión para $x_t$ como en la constante de caso?

En particular, suponga que $f(t)$ es periódica con período determinado $\tau$. ¿Cuál es el límite de $E(x_t)$?

Answer 1

Usted puede tomar las expectativas en ambos lados de la SDE/correspondiente de la ecuación integral y obtener una ODA a la expectativa de la función $m_t = \Bbb E[x_t]$: $$ \dot m = \theta(f - m) $$ que se puede resolver fácilmente mediante ansatz $m_t = c_t \mathrm e^{-\theta t}$ lo cual lleva a $$ m_t = x_0\mathrm e^{-\theta t} + \theta\cdot\int_0^tf(s)\mathrm e^{\theta(s-t)}\mathrm ds $$ así, por $x_0 = 0$ consigue una versión truncada de la convolución $m = f*\exp$.

Ahora, supongamos por simplicidad que $x_0 = 0$, que no importa para el análisis asintótico de periódico $f$ de todos modos. Vamos a $p>0$ ser el período de $f$, entonces para cualquier entero $n$ hemos $$ \begin{align} m(np) &= \theta\mathrm e^{-\theta np}\cdot \sum_{k=0}^{n-1}\int\limits_{kp}^{(k+1)p}f(s)\mathrm e^{\theta s}\mathrm ds = \theta \mathrm e^{-\theta np}\cdot \sum_{k=0}^{n-1}F\mathrm e^{\theta kp} \\ &= \theta F\cdot\frac{1 - \mathrm e^{-\theta np}}{\mathrm e^{\theta p} - 1} \to \frac{\theta F}{\mathrm e^{\theta p} - 1} \end{align} $$ donde $$ F = \int_0^pf(s)\mathrm e^{\theta s}\mathrm ds. $$ Observe que si $f \equiv \mu$ entonces debemos tener un límite en el $p\to 0$ en relación con lo que conseguimos $\mathrm e^{\theta p} -1\sim \theta p$ e $F \sim \mu p$, de modo que la relación es $\mu$, lo que confirma el caso de la constante de $f$.

Answer 2

Para la solución general en el caso de que $f$ no es una constante, tenga en cuenta que, a partir de la SDE \begin{align*} dx_t = \theta(f(t)-x_t)dt + \sigma dW_t, \end{align*} obtenemos que \begin{align*} d\big(e^{\theta t} x_t \big) = \theta e^{\theta t} f(t)dt + \sigma e^{\theta t} dW_t. \end{align*} Entonces \begin{align*} e^{\theta t} x_t = x_0 + \int_0^t \theta e^{\theta s} f(s)ds + \sigma \int_0^t e^{\theta s} dW_s. \end{align*} Es decir, \begin{align*} x_t = x_0e^{-\theta t} + \int_0^t \theta e^{-\theta (t-s)} f(s)ds + \sigma \int_0^t e^{-\theta (t-s)} dW_s. \end{align*}