El factor de descuento estocástico $M_t$ en un modelo simple de RBC

Question

En estas notas de clase En la página 3, el autor define el factor de descuento estocástico como $M_t=\beta^t\frac{E_0(u'(C_{t+1}))}{u'(C_{0}))}$ .

Estoy tratando de encontrar la razón de ser de esto.

Un flujo de caja en el periodo t, se suele descontar por $\prod^t_{i=0} \frac{1}{1+r_i}$ (si no me equivoco). Estaba pensando en utilizar la ecuación (5) - en las notas - donde tenemos que $\frac{1}{1+r_t}=\beta\frac{E_t(u'(C_{t+1}))}{u'(C_{t}))}$ .

Sin embargo, como $\frac{E_{t-1}(u'(C_{t}))}{u'(C_{t})}\neq 1$ No sé exactamente cómo proceder.

Además, justo debajo de la ecuación (10), el autor afirma que $E_t(M_{t+1})=\beta\frac{E_t(u'(C_{t+1}))}{u'(C_{t}))}$ . ¿Cómo es posible? ¿No es la propiedad de la torre exactamente la inversa: $I_0\subseteq I_t\implies E(E(M_{t+1}|I_t)|I_0)=E(M_{t+1}|I_0)$ ?

Se agradecería cualquier ayuda.

Answer 1

Uso algo inconsistente/descuidado de los índices. En

$$M_t=\beta^t\frac{E_0(u'(C_{t+1}))}{u'(C_{0}))}$$

se supone que estamos en el período $0$ para cualquier $t$ adelante queremos ver .

En

$$E_t(M_{t+1})=\beta\frac{E_t(u'(C_{t+1}))}{u'(C_{t}))}$$

se supone que estamos en cualquier $t$ y miramos un período por delante.

Las dos expresiones no dan las mismas fórmulas para cualquier $t$ Y ahí está el problema/confusión.