Reproducir la probabilidad de impago del índice CDS a través del tramo [0,100] Probabilidad

Question

El probabilidad de supervivencia del tramo hasta el momento $t$ entre el apego $K_1$ y el desprendimiento $K_2$ se define como $$Q(t,K_1,K_2) \quad=\quad 1 - \mathbb{E}[L(t,K_1,K_2)]$$ con pérdida de tramos función $$L(t,K_1,K_2) \quad=\quad \frac{\min(L(t),K_2) - \min(L(t),K_1)}{K_2 - K_1}$$ y pérdida de índice función $$L(t) \quad=\quad \frac{1}{N} \cdot \sum_{i=1}^N (1-R_i)\cdot 1_{\{\tau_i<t\}}$$

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Ahora, si ponemos $K_1=0\%$ y $K_2=100\%$ obtenemos $$Q(t,0,1) \quad =\quad 1 - \frac{\mathbb{E}[\min(L(t),1)] - 0}{1-0} \quad =\quad 1 - (1-R)\cdot \mathbb{P}(\tau<t)\tag{1}$$ (suponiendo que $R_i\equiv R$ y $\mathbb{P}(\tau_i<t)\equiv \mathbb{P}(\tau<t)$ para simplificar)

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Sin embargo, si $K_1=0\%$ y $K_2=100\%$ Si no recuperamos el probabilidades de índice puras ? Es decir $$Q(t,0,1) \quad=\quad 1 -\mathbb{P}(\tau<t)\tag{2}$$ Parece que $\color{red}{(1-R)}$ aparece incorrectamente en la fórmula $(1)$ .
¿Cómo se puede conciliar la fórmula $(1)$ y $(2)$ ?

Answer 1

En realidad, es que has olvidado tu $1 - R$ en la fórmula (2) :) La curva de supervivencia del índice se define de forma similar a la del tramo : $Q\left(t\right) = 1 - \mathbb{E} \left[L\left(t\right)\right] = 1 - \left(1 - R\right)\mathbb{P}\left(\tau < t\right)$ . Por lo tanto, su fórmula para la curva de supervivencia del tramo 0-100 sí coincide con el índice".

Ese historial de consistencia de pérdidas entre el índice y el tramo se maneja de las siguientes maneras :

• En el índice, el vendedor de protección paga la pérdida y recibirá cupones en $1-w_i$ de su nocional, $w_i$ que es el peso de la entidad en default. $1 - \sum_{i = 1}^N{w_i1_{\tau_i < t}}$ es a menudo llamado el factor de índice .
• En el tramo, el vendedor de protección del patrimonio paga la pérdida y recibe cupones sobre $1 - L \left(t, 0, K\right)$ de su nocional. El titular del tramo super senior, aunque no asume ninguna pérdida, recibe cupones sobre $1 - \sum_{i = 1}^N{w_iR_i1_{\tau_i < t}}$ es decir, en un nocional disminuido . Los practicantes dicen que son atacado por la parte superior .

Esto es para asegurar que cuando todos los nombres han incumplido, un comprador de protección no pagaría los cupones restantes en $R$ de la noción, lo que no tendría ningún sentido. Una buena referencia sobre el tema es el libro de texto de O'Kane sobre derivados de crédito (2008).