Como el nombre indica, el propósito de la simulación de Monte Carlo es para simular la solución de $(S_t)_{t\geq 0}$ de los siguientes SDE (dinámica de riesgo de los activos en virtud de Black-Scholes)
$$ dS_t/S_t = \mu dt + \sigma dW_t;\quad S(0)=S_0 \tag{1} $$
en puntos discretos en el tiempo, normalmente un uniforme de la partición del intervalo $[0,T]$ con el paso de tiempo $\Delta t$,
$$ t_0=0,\,\dots, t_i=i\Delta t,\,\dots,\, t_N = T $$
Vamos a denotar los valores simulados en los diferentes tiempos de $t_i$ por $(\tilde{S}_{t_i})_{i=0,\dots,N}$
El segundo enfoque que usted menciona, es decir,
$$\tilde{S}_{t_i} = \tilde{S}_{t_{i-1}} \exp\left( (\mu - \sigma^2/2)\Delta t + \sigma \sqrt{\Delta t} z \right) \tag{2} $$
simula la solución exacta de la SDE, expresado en forma discreta veces, por lo tanto $$\tilde{S}_{t_i} = S_{t_i} $$
Puede ser obtenida mediante la aplicación de Itô del lema a la función de $\ln(S_t)$.
El primer enfoque que usted menciona se basa en lo que se llama una Euler-Maruyama discretisation de la ecuación diferencial estocástica $(1)$ y, de hecho, simula
$$ \tilde{S}_{t_i} = \tilde{S}_{t_{i-1}} \left( 1 + \left( \mu \Delta t + \sigma \sqrt{\Delta t} z \right) \right) \tag{3} $$
Debido a la discretisation, la secuencia de los valores simulados se constituyen únicamente una aproximación de la solución exacta a $(1)$ es $(2)$, es decir,
$$ \tilde{S}_{t_i} \approx S_{t_i} $$
Esta solución aproximada se reunirán a lo verdadero como el paso de tiempo de la simulación tiende a cero cuando ($\Delta t \to 0$).
Usted podría preguntarse, ¿por qué iba a utilizar el segundo enfoque de arriba mientras que se podría utilizar directamente la primera que es exacto.
La respuesta es obviamente que no todos los SDEs admitir soluciones analíticas. Esto significa que, en general, la SDEs necesita ser discretised para simular numéricamente sus soluciones.
Además de la simple Euler-Maruyama método, un montón de diferentes discretisation existen esquemas, en particular el famoso Milstein familia. Ellos difieren esencialmente por sus propiedades de convergencia como $\Delta t \to 0$.
