La expectativa de una Integral de una función de un Movimiento Browniano

Question

Realmente agradecería alguna orientación sobre cómo calcular la expectativa de una integral de una función de un Movimiento Browniano.

Deje $B(t)$ ser un movimiento Browniano con deriva $\mu$ y la desviación estándar $\sigma$. En el momento $t$, $e^{-kt}$ representa el tiempo de descuento con un tiempo de descuento factor de k. Necesito a evaluar los siguientes:
$$ \mathbb{E}\left[\int_0^t B(s)e^{-ks} \,\mathrm{d}s\right]$$

Answer 1

Por el teorema de Fubini, $$\newcommand\bbE{\mathbb{E}} \bbE\left[ \int_0^t B(s)e^{-k} \,\mathrm{d}s \right] = \int_0^t \bbE[B(s)e^{-k}] \,\mathrm{d}s = \int_0^t \mu se^{-k} \,\mathrm{d}s = \frac{\mu (1 - e^{-kt} (1+kt))}{k^2}.$$