Utilice ninguna dominancia para mostrar que el precio de la opción de compra satisface la desigualdad

Question

Supuesto 2.1 - Si el pago $P$ de un instrumento financiero es no negativo, entonces el precio $p$ del instrumento financiero también es no negativo.

Supongamos que $C$ es simplemente el precio de la opción de compra, y $C^{*}$ es también el precio de una opción de compra diferente con los mismos parámetros que $C$ excepto que $\tau = T - t$ donde $T$ es la madurez y $t$ es el tiempo actual

Suponiendo que no hay dominancia, Supuesto 2.1. Demuestra que el precio de la opción de compra debe cumplir $$(S - B_t(T)K)_+ \leq C(T,K,S)\leq C^{*}(T,K,S)\leq S$$ Por lo tanto, para cualquier comilla de precio $C^{*}(\tau,K,S)$ de una opción de compra con precio de ejercicio $K$ y tiempo hasta la madurez $\tau$, existe un único $\sigma^{imp}(\tau,K,S)$ tal que $$C(\tau,K,S,\sigma^{imp},r) = C^{*}(\tau,K,S)$$ $\sigma^{imp}(\tau,K,S)$ se llama volatilidad implícita. Ver figura abajo

Intento de demostración: Sea el precio de una opción de compra con precio de ejercicio $K$ denotado como $C(K)$. Supongamos que cuando compramos una opción de compra, el precio de la acción $S$ es igual al precio de ejercicio $K$. Por lo tanto tenemos $$C(T,K,S)\leq S$$ en el tiempo $T

No estoy seguro de a dónde ir a partir de aquí, cualquier sugerencia es muy apreciada.

Answer 1

Tenga en cuenta que $(S_T-K)^+ -S_T \le 0$, Por el principio de dominancia, \begin{align*} 0 &\ge E\left(\frac{S_T-K)^+ -S_T}{e^{rT}}\right)\\ &= E\left(\frac{S_T-K)^+}{e^{rT}}\right) - E\left(\frac{S_T}{e^{rT}}\right)\\ &=C(T, K, S)-S. \end{align*} Es decir, \begin{align*} C(T, K, S) \le S. \tag{1} \end{align*} Por otro lado, dado que \begin{align*} (S_T-K)^+ -(S_T-K)\ge 0, \end{align*} por el principio de dominancia, \begin{align*} E\left(\frac{(S_T-K)^+ -(S_T-K)}{e^{rT}}\right) \ge 0. \end{align*} Esto significa que, \begin{align*} C(T, K, S) &\ge S-e^{-rT}K.\tag{2} \end{align*} Además, dado que \begin{align*} (S_T-K)^+ \ge 0, \end{align*} nuevamente por el principio de dominancia, \begin{align*} C(T, K, S) &\ge 0.\tag{3} \end{align*} En resumen, de (1)-(3), \begin{align*} \big(S-e^{-rT}K\big)^+ \le C(T, K, S) \le S. \end{align*> Aquí, para una volatilidad dada $\sigma$, \begin{align*> C(T, K, S)(\sigma) &= S\Phi(d_1)-e^{-rT} K \Phi(d_2), \end{align*> donde \begin{align*> d_1= \frac{\ln\frac{S}{e^{-rT}K }+\frac{1}{2}\sigma^2T}{\sigma\sqrt{T}}, \end{align*> y \begin{align*> d_2= \frac{\ln\frac{S}{e^{-rT}K}-\frac{1}{2}\sigma^2T}{\sigma\sqrt>T}, \end{align*> es una función continua de $\sigma$. Es fácil ver que \begin{align*> \lim_{\sigma \rightarrow +\infty}C(T, K, S)(\sigma) = S, \end{align*> y \begin{align*> \lim_{\sigma \rightarrow 0+}C(T, K, S)(\sigma) = \big(S-e^{-rT}K\big)^+. \end{align*> Por lo tanto, para cualquier valor $C^*$ que satisfaga \begin{align*> \big(S-e^{-rT}K\big)^+ < C^* < S, \end{align*> hay una volatilidad, que denotamos como $\sigma^{imp}$, tal que \begin{align*> C(T, K, S)(\sigma^{imp}) = C^*. \end{align*>