Optimización de la media y la varianza sin venta en corto

Question

Me pregunto cómo puedo encontrar el vector de multiplicadores de Lagrange $\mu$ para la restricción de no negatividad del siguiente problema:

$$ L(w,\lambda, \mu) = w^{T}\Sigma w - \lambda(w -1) + \mu w $$

Hasta ahora, lo que se me ocurrió es que $\mu$ puede ser aislado con la condición de primer orden $ \frac{\partial L }{\partial w} $:

$$ \Sigma w - \lambda = - \mu $$ $$ \mu = \lambda - \Sigma w $$

¿Hay alguna forma de encontrar una solución explícita para $ \mu $?

No tengo antecedentes en finanzas ni optimización, cualquier sugerencia o comentario es apreciado, ¡gracias!

Answer 1

Puedes usar Lagrangiano solo con restricciones de tipo igual. Hay desigualdades en tu problema, a saber $w \ge 0$ y $w \le 1$. Por lo tanto, el método de Lagrange no puede ser empleado aquí.

De acuerdo a las etiquetas que añadiste a la pregunta, estás resolviendo el problema de optimización de Markowitz. Una de sus formulaciones (maximizando beneficios y minimizando riesgos al mismo tiempo) es

$$ f = \mu ^T w - \lambda w^T\Sigma w \rightarrow \text{MAX}, $$

sujeto a $0 \le w \le 1$ y $\sum w_i =1$. El vector $\mu$ contiene los rendimientos esperados de los activos en la cartera, $\Sigma$ es la matriz de covarianza de los rendimientos y el parámetro $\lambda$ se utiliza para establecer aversión al riesgo. Un $\lambda$ mayor significa mayor aversión al riesgo.

Esta tarea se puede resolver mediante el llamado programación cuadrática.

Sin embargo, en la práctica puedes emplear el solver de MS Excel. Como método de solución, por favor selecciona GRG Non-linear. Este es un método de gradiente y puede manejar con éxito la tarea del problema cuadrático (esto incluso se puede demostrar matemáticamente).