Una pregunta sobre estacionaridad y ergodicidad

Question

Dados los rendimientos diarios de un índice bursátil durante más de 50 años, una pregunta de tarea pregunta:

Grafica la media muestral y las varianzas anuales de los rendimientos y sus valores absolutos. ¿Estos estimados están de acuerdo con la suposición de una serie temporal ergódica?

Habiendo hecho eso, no estoy seguro de cómo proceder. ¿Cómo juzgo si mis series temporales son ergódicas basándome en la media muestral y las varianzas anuales de los rendimientos y sus valores absolutos?

Esa parece ser una pregunta extraña dada la definición complicada de lo que significa ser ergódico. Sé que una serie temporal es ergódica si todas las funciones "agradables" de la serie temporal satisfacen la ley fuerte de los grandes números. ¿Cómo diablos podría juzgar eso por los gráficos que hice?

Answer 1

Creo que esto debería tratarse como una pregunta de tipo ensayo, en lugar de un problema matemático. En última instancia, concluirás que "no hay razón por la cual no pueda ser ergódico", pero tendrás algunos párrafos bien escritos antes de esto para revisar algunos problemas y mostrar tu comprensión de los conceptos sutiles involucrados.

La intuición de ergodicidad es que un modelo estadístico es ergódico si existen parámetros constantes (estacionariedad) y pueden estimarse a partir de cualquier trayectoria (aleatoria) observada durante un tiempo lo suficientemente largo. (Las razones para la no ergodicidad incluyen: no estacionariedad, o la ocurrencia de trayectorias patológicas (atrapadas) que no proporcionan información estadística válida incluso si se observan durante mucho tiempo).

Como primer paso, para verificar la estacionariedad, dibujamos los gráficos mencionados. Los rendimientos anuales promedio están por todos lados, pero no son inconsistentes con un rendimiento promedio del 9% anual y una desviación estándar del 17 o 18% alrededor de este valor. Son muy volátiles, pero en su mayoría están en una banda de 2 desviaciones estándar alrededor de la media, por lo que no necesariamente son no estacionarios. Las varianzas anuales son más problemáticas, y son notablemente más altas en algunos años (por ejemplo, 2007-2008) que en otros. Pruebas estadísticas (prueba de Chi Cuadrado) se pueden aplicar para verificar si se explican como error de muestreo alrededor de una varianza fija.

Si las varianzas no son estacionarias, esto plantea la posibilidad de que el proceso sea no ergódico. Sin embargo, todo no está perdido, ya que existen modelos en los cuales la varianza puede cambiar entre un valor más alto y uno más bajo de acuerdo con un proceso de Markov aleatorio; si las probabilidades de transición y $\sigma_H,\sigma_L$ son ergódicas (pueden estimarse a partir de una muestra histórica) entonces el proceso es ergódico.

En conclusión, aunque se pueda rechazar un modelo simple de rendimiento esperado constante y varianza constante (que sería el modelo ergódico más simple), modelos más sofisticados de volatilidad estocástica (como el cambio de Markov entre dos valores de volatilidad, un valor más bajo durante expansiones económicas y uno más alto durante recesiones) podrían restaurar la suposición de ergodicidad.

(Lo cual es una buena noticia, porque si el mercado de valores no fuera ergódico, entonces no tendría sentido estudiarlo de forma cuantitativa).